liczby zespolone, równania z liczbami zespolonymi Dino: 1)Rozwiąż równanie, gdzie z to liczba zespolona |(2+j)z|−(3−j)z=−5j rozwiązjując tak standardowo (z zamieniam na a+bj, liczę moduł, obojęnie czy rozdzielam na |(2+j)| i |z| czy zostawiam tak jak jest a następnie porównuje czesc rzeczywista i urojoną) dochodzę do momentu gdzie muszę podnieść pięcioskładnikowe wyrażenie do kwadratu, a potem powstająmi dwa kwadratowe równania Da się to jakoś prościej zrobić? Mogę np. zrobić że w składniku (3−j)z, z zamienic na |z|? Ale wtedy tez będę miała minimalnie 3 składniki do kwadratu 2)Wyznacz i zaznacz na płaszczyźnie zbiór wszystkich liczb zespolonychz seplniajacych warunek |z|+|z−2j|=2 Jak to zacząć? Ogólnie gdy jest samo z minus cos |z−2+j|=3 to mam zaznaczyć okrąg o promieniu 3 o srodku 2+j , ale co zrobić gdy mam taki przypadek z dwoma zetami jak powyżej?

jc: (2) |z| + |z−2j| = 2, odcinek o końcach: 0, 2j.

PW: 1) Jeżeli dobrze widzę, to równanie ma równoważną postać (1) |(2+j)z| = (3−j)z−5j, w której lewa strona jest liczbą rzeczywistą nieujemną, wobec czego (3−j)z−5j = x, x∊<0,∞). Jeżeli z=a+bj, a,b∊R, to (3−j)(a+bj)−5j = x 3a+3bj−aj+b−5j = x skąd po przyrównaniu części rzeczywistych i części urojonych obu stron równości 3a+b = x ∧ 3b−a−5 = 0 Lewa strona |(2+j)z| = √2²+1²√a²+b² = √5√a²+b² = x, zatem 3a+b=√5√a²+b² ∧ a = 3b−5 Rozwiazujemy pierwsze z równań: 3(3b−5)+b=√5√(3b−5)²+b² 10b−15 = √5√10b²−30b+25 5(2b−3)=√5√10b²−30b+25 √5(2b−3) = √10b²−30b+25 5(4b²−12b+9) = 10b²−30b+25 10b²−30b+20 = 0 b² − 3b + 2 = 0 (b−2)(b−1) = 0 b₁ = 2 ∨ b₂ = 1 i w konsekwencji a₁ = 3•2−5 = 1, a₂ = 3•1 − 5 = −2. Rozwiązaniami równania mogą być liczby 1+2j lub −2+j, co trzeba sprawdzić podstawiając je do (1): |(2+j)(1+2j)| = (3−j)(1+2j)−5j 5 = 3+6j−j+2−5j − zdanie prawdziwe |(2+j)(−2+j)| = (3−j)(−2+j)−5j 5 = −6+3j+2j+1−5j − zdanie fałszywe Rozwiązaniem jest liczba 1+2j.

Dino: Dziękuję!

Dino: Tylko mam pytanie, przy sprawdzaniu, już nie bierzemy pod uwagę wartości bezwzględnej po prostu czy jak?

PW: Obliczyłem w pamięci. bo myślałem że to łatwe: |(2+j)(1+2j)|=|2+j|•|1+2j|=√1²+2²•√2²+1² = √5√5 = 5

Dino: a dobra XD bo jakoś mnie przyćmiło i zapomniałam , że to tak w zespolonych XDDD przepraszam