Zbieżność całek Satan: Mam takie pytanko odnośnie badania zbieżności całek.

	1 + √x + |lnx|
Rozpatruję całkę: ∫		dx na przedziale [0, ∞)
	x

Widać, że w punkcie x = 0 mamy osobliwości, więc najlepiej będzie rozbić całkę na dwie:

	1 + √x + |lnx|		1 + √x + |lnx|		1 + √x + |lnx|
∫0∞		dx = ∫01		dx + ∫1∞
	x		x		x

dx

	1 + √x + |lnx|
No to teraz rozpatrzmy całkę ∫1∞		dx:
	x

	1 + √x + |lnx|		|lnx|   1 + x√1 +   x
∫1∞		dx = ∫1∞		dx =
	x		x

	1		|lnx|
= ∫1∞		+ √1 +		dx
	x		x

	1
I teraz korzystając z tego, że to suma całek mam dwie całki. Stąd widać, że ∫1∞		jest
	x

rozbieżna do ∞ przy x → ∞. Czy jest to wystarczające uzasadnienie, by stwierdzić, że w takim wypadku cała całka jest rozbieżna na przedziale [0, ∞)?

wredulus_pospolitus:

	1
Skąd widać że ∫1∞		dx jest rozbieżna
	x

Satan:

	dx
∫1∞		= lnx|x = 1∞, pomijam wartość bezwzględną w argumencie logarytmu z
	x

oczywistego względu. Stąd już łatwo widać, że lim_{x → ∞}lnx − ln1 = ∞, bo lnx → ∞ przy x → ∞

wredulus_pospolitus: o ... i teraz widać, że całka jest rozbieżna. Teraz jeszcze warto podać że ∫ √1+|lnx|/x dx > 0 No i oczywiście także że ∫₀¹ f(x) dx > 0

wredulus_pospolitus: ja bym to (na Twoim miejscu) zapisał: dla x>0

1+√x+|lnx|		1
	≥
x		x

więc:

	1		1
∫0∞ f(x) dx ≥ ∫0∞		dx ≥ ∫1∞		dx = .... i dalej ciągniesz
	x		x

Satan: Hm, a co takie wskazanie nam gwarantuje? Nawet gdyby otrzymać symbol ∞ − ∞, to wciąż mamy rozbieżność. Jestem ciekaw, w końcu to szczegóły w analizie są ważne

Satan: Tak, faktycznie tak jest na pewno sprytniej, jak i szybciej, bo przy bardziej skomplikowanym przykładzie mógłbym gdzieś się pomylić.

wredulus_pospolitus: emmm ... mogłoby być ∞ − ∞ = 5 na przykład

wredulus_pospolitus: analogicznie do tego jak miałeś granice ciągów/funkcji

Satan: Okej, teraz zupełnie wszystko rozumiem, w takim wypadku takie wskazanie jest wręcz niezbędne. Dziękuję pięknie