Odgadnij wzór ogólny ciągu określonego rekurencyjnie Olaa: Odgadnij wzór ogólny ciągu (an) określonego rekurencyjnie, a następnie go udowodnij. a) a1 = 1 , a2 = −3 a(n+1) = −2an + 3a(n−1) dla n ≥ 2 an = (−3)n−1 b) a1 = a2 = 3 a(n+1) = an + 2a(n−1) dla n ≥ 2 an = 2n + (−1)n−1 Chodzi mi o udowodnienie wzoru.

ABC: a już odgadłaś sama jakie wzory mają być?

Olaa: tak i w a.) będzie a_n = (−3)ⁿ⁻¹ ale nie wiem w jaki sposób to udowodnić

ABC: tak cię dopytuję żeby się upewnić czy rozumiesz co piszesz , bo na przykład w przypadku b) naturalnym sposobem dochodzimy do wzoru a_n=2ⁿ−(−1)ⁿ=2ⁿ+(−1)ⁿ⁺¹

Olaa: a czy potrafisz udowodnić takie wzory? Bo zgadnąć potrafię, nie wiem właśnie jak go udowodnić ps = wykładnik (−1) zmienia się na ⁿ⁻¹ = tak mi się udało policzyć i tak podają odpowiedzi

ABC: piszę sam krok indukcyjny dla przypadku b) przykładowo: zał indukcyjne :a_n=2ⁿ+(−1)ⁿ⁺¹ teza indukcyjna: a_n+1=2ⁿ⁺¹+(−1)ⁿ⁺² krok indukcyjny: a_n+1=a_n+2a_n−1=2ⁿ+(−1)ⁿ⁺¹+2[2ⁿ⁻¹+(−1)ⁿ] = 2ⁿ+2*2{n−1}+(−1)ⁿ⁺¹+2*(−1)ⁿ= 2ⁿ+2ⁿ+(−1)ⁿ[−1+2]=2ⁿ⁺¹+(−1)ⁿ=2ⁿ⁺¹+(−1)ⁿ⁺² napisałem z (n+1) zamiast n−1 bo tak wolę