dowód krrx: Hej, mam pytanie odnośnie dowodów. Przykładowe zadanie: Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: x⁴ − 2x³ − 2x² + 9 > 0 Wiele osób próbuje przekształcić to na wzór skróconego mnożenia, sama tak przez większość czasu robiłam. Od jakiegoś czasu jednak rozwiązuje takie dowody graficznie. Tj. Za pomocą pochodnych wyznaczam gdzie funkcja jest rosnąca bądź malejąca, jej minimum, maksimum, granice itp itd. Potem rysuję to na płaszczyźnie. I stąd właśnie moje pytanie − czy jeżeli narysuję takową funkcję i z rysunku będzie wynikało to, że funkcja rzeczywiście jest całkowicie "położona" nad osią OX to czy dowód na maturze zostanie zaliczony? Czy jednak jest to niewystarczające i zostać z tym kombinowaniem i przekształcaniem na wzory?

Bleee: Narysowanie niestety nie jest dowodem, ale wszystkie wyliczenia poprzedzające rysunek już są.

Adamm: Przykład takiego dowodu? Możliwe że przejdzie.

Bleee: Wyznaczenie granic, wyznaczenie wszystkim minimum oraz wartości funkcji w tych punktach można traktować jako dowód. Jednak sam wykres funkcji sporządzony (mimo że w brudnopisie masz powyższe wyliczenia) dowodem nie jest chociażby z takiego faktu, że Twój wykres jest tylko przybliżony wykresem tejże funkcji.

ABC: jeżeli zrobisz porządny przebieg zmienności pewnie ci zaliczą, ale chyba ze wzorów jest znacznie szybciej gdy się treningowo kilkanaście tego typu zrobi i mózg przyswoi schematy

Bleee: Problelem dzisiejszych matur jest to że rozwiązanie ma być 'zgodne z kluczem' i (przynajmniej kiedyś tak było) jeżeli Twoje rozwiązanie nie jest ujęte w kluczu to sprawdzający nie traktował to jako prawidłowa odpowiedź.

Bleee: I ku przestrodze − − − gdy pisałem maturę (a pisałem jeszcze starego typu maturę) w jednym zadaniu klucz był BŁĘDNY (klucz zawierał tylko jeden przypadek rozwiązania, a nie dwa), gdy pytałem się matematyka (nie z mojej szkoły) co w tym momencie będzie z moją pracą, odpowiedzial: "może nie potraktuje to jako błąd" − to były najtrudniejsze dni mojego ówczesnego życia. Szczęśliwie w tamtych czasach prace sprawdzali nauczyciele w szkołach, więc nikomu nie z nich nie przyszło do głowy odwalic takiego numeru, jednak teraz gdy pracę sprawdzają anonimowi nauczyciele (niekoniecznie uczący dany przedmiot) to może być 'zonk'. Oczywiście, można wtedy się odwoływać i z pewnością odwołanie będzie skuteczne, ale nerwy gwarantowane

ABC: Mam kolegę egzaminatora z matematyki, dawno go nie widziałem ale ostatnim razem gdy rozmawialiśmy mówił że mają wytyczne żeby każde nietypowe rozwiązanie o ile jest kompletne i poprawne oceniać na maksymalną liczbę punktów. Ale to chyba było tuż przed objęciem rządów przez Zalewską, teraz może być różnie

krrx: Trochę mi to co prawda zajęło, ale pełen dowód jest tutaj: https://drive.google.com/file/d/1GxHedo7qtBLTQ9x0vzEHCZsrvIwet1vh/view?usp=sharing Przepraszam, nie umiem posługiwać się narzędziami tu dostępnymi, więc uznałam, że szybciej będzie zrobić to na kartce i zrobić zdjęcie. Eh, mnie jakoś przeraża właśnie ten klucz, bo wiele zadań robię trochę dookoła niego, chociażby właśnie te dowody. Oczywiście mam wrażenie, że trafię na egzaminatora, któremu się to nie spodoba, a nieco obawiam się odwoływania, bo nawet nie wiem jak to wygląda...

Bleee: Wiec tak jak pisałem wcześniej to by było traktowane jako dowód, ale nie ze względu na wykres co ze względu na policzone granice, wyznaczona monotonicznosc i obliczona wartość funkcji w minimach lokalnych

krrx: Dzięki

jc: Pewnie badanie funkcji jest łatwiejsze. Jednak zapisanie w postaci sumy kwadratów nie wymaga słowa komentarza. x⁴−2x³−2x²+9 = (x²−x−2)² + (x−2)² + 1 > 0

Bleee: jc... Mimowszystko 'slowo' komentarza i tak by było wskazane No ale ja skrzywiony jestem tym że musiałem zawsze wypisywać co z czego wynika

pierzyna: Mam pytanie − jak do udowodnienia jest, że jakieś tam podane f(x)≥0 i f(x) ma normalnie minima globalne o wartości 0, to nie trzeba chyba żadnych granic dodatkowo ani reszty przebiegu zmienności funkcji, żeby udowodnić nierówność? Wystarczy chyba sam warunek konieczny istnienia ekstremum?

ABC: żeby pokazać że minimum jest globalne to coś tam trzeba porachować

pierzyna: @ABC Co trzeba jeszcze rachować, jeśli funkcja ma np. 2 miejsca zerowe, z czego tylko w jednym zmienia znak z ujemnego na dodatni? To nie będzie jedyne minimum funkcji?

pierzyna: pochodna funkcji*

jc: Zagmatwane pytanie.

ABC: na to że w danym punkcie jest minimum lokalne mają wpływ tylko wartości funkcji w pewnym otoczeniu tego punktu, a dalej funkcja może różnie się zachowywać

Bleee: Pierzyna.... Pragnę zauważyć że na podstawie pochodnej sprawdzasz istnienie minimum LOKALNEGO. W celu wykazania że jest to minimum Globalne trzeba jeszcze parę innych rzeczy porachowac jak chociażby granice w nieskonczonosciach

Bleee: Funkcja f(x) NIE musi przyjmować najmniejszej wartości (globalnie) w swoim minimum lokalnym. Abstrahując już od tego konkretnego przypadku. Wystarczy że funkcja nie jest ciągła w R (ale jest nadal ciągła w swojej dziedzinie). Moze też funkcja maleć do asymptoty poziomej której wartość jest mniejsza nim wartość funkcji w minimum lokalnym.

Bleee: Bez odpowiedniego uzasadnienia dlaczego w danym przypadku nie obliczasz granic w nieskonczonosciach nie można przyjąć takiego rozwiązania.

ABC: oczywiście czasem masz do czynienia z parabolą wtedy życie staje się łatwiejsze jak mawiał towarzysz Stalin ale to rzadkie przypadki