Funkcja dwóch zmiennych - najwieksze, najmniejsze wartosci i ekstrema
polo: Witam, piszę tutaj na forum z prośbą o sprawdzenie dwóch zadanek dotyczących funkcji dwóch
zmiennych.
Zadanie 1.
Wyznacz ekstrema lokalne i punkty siodłowe funkcji f(x,y)=x
3+y
3−3xy
f'
x=3x
2−3y
f'
y=3y
2−3x
Tworząc układ równań i przyrównując do zera otrzymuje dwa punkty podejrzane o istnienie
ekstremum P1(0,0) i P2(1,1)
Liczę pochodne wyższego rzędu:
Tworzę macierz wyznaczników, liczę wyznacznik macierzy W(P1)=−9 czyli brak ekstremum, mamy do
czynienia z punktem siodłowym, W(P2)=−8 czyli brak ekstremum, mamy do czynienia z punktem
siodłowym.
Odpowiedź: Nasza funkcja nie ma ekstremów lokalnych, posiada dwa punkty siodłowe P1 i P2
Zadanie 2
Wyznacz wartosc najwieksza i najmniejsza funkcji f(x,y)=x
2+2xy−4x+8y w prostokacie
ograniczonym prostymi x=0, y=0, x=1, y=2.
Tworzę rysunek naszej "dziedziny", odczytuję 4 punkty (wierzchołki naszego prostokąta) w
których może być nasza poszukiwana wartość P0(0,0) P1(1,0) P2(1,2) P3(0,2)
Szukam punktów stacjonarnych licząc pochodne pierwszych rzędów i przyrównując je do zera
otrzymuje punkt P4(−4,6) który nie należy do naszego obszaru.
Teraz zbadam boki naszego prostokąta (bez punktów końcowych)
Badam lewy bok naszego prostokąta i otrzymuję, że na nim nie wartości najmniejszej ani
największej.
Badam dolny bok i otrzymuję P5(2,0) który nie należy do naszego boku.
Badam prawy bok i otrzymuję, że nie ma na nim wartości najmniejszej ani największej.
Badam górny bok i otrzymuję P6(0,2) który nie należ do naszego boku.
Czyli zostały mi sprawdzenie wartości we wierzchołkach naszej figury.
f(P0)=f(0,0)=0
f(P1)=f(1,0)=−3
f(P2)=f(1,2)=17
f(P3)=f(0,2)=16
Czyli nasze maksimum globalne ma wartość 17, natomiast minimum globalne przyjmuje wartość −3.