kilka zadań Mateuszz: 1 Wykaż, że wielomian x⁴+ 3x + 1 nie jest iloczynem dwóch wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach całkowitych. 2 Z odcinków o długościach a, b, c można zbudować trójkąt. Wykaż, że z odcinków o długościach 1/(a+b) 1/(c+a) 1/(b+c) też można zbudować trójkąt. 3Wyznacz wszystkie pary (x; y) liczb całkowitych spełniające równanie xy = 2x + 3y + 5. Rozwiąż równanie 4sin²x+8sin²*cosx=2cosx+1 4 Wykaż, że wielomian x⁴ + 3^x + 1 nie jest iloczynem dwóch wielomianów drugiego stopnia o współczynnikach całkowitych.

Adamm: 1. z tw. Eisensteina wielomian jest nierozkładalny w liczbach wymiernych (p = 3) 2.

1		1		1		b2+c2+bc+a(b+c−a)
	+		−		=		>0
a+b		a+c		b+c		(a+b)(a+c)(b+c)

z nierówności trójkąta 3.

	11
(x−3)y = 2x+5 ⇔ y = 2+		i (x−3)|11
	x−3

x−3 ∊{1, 11, −1, −11} x∊{4, 14, 2, −8} wtedy y∊{13, 3, −9, 1} odpowiednio

wredulus_pospolitus: 1) W(x) = x⁴ + 3x + 1 Q(x) = x² + ax + b R(x) = x² + cx + d Q(x)*R(x) = (x² + ax + b)*(x² + cx + d) = x⁴ + x³(a+c) + x²(b+d+ac) + x(ad + bc) + b*d więc: I ) b*d = 1 −> więc b = d = 1 lub b = d = −1 II) a+c = 0 −> a = −c więc: ad + bc = ab − ab = 0 ≠ 3 c.n.w.

jc: xy = 2x + 3y + 5 (x−3)(y−2)=11 (x,y)=(−8,1),(2,−9),(4,13),(14,3)