ciąg arytmetyczny i geomeetryczny
123: Suma trzech kolejnych liczb tworzących ciąg geometryczny daje 21.
Jeżeli pierwszą pozostawimy bez zmiany, do drugiej dodamy 1a a od trzeciej odejmiemy 1 to
otrzymamy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
Znajdź liczby tworzące ciąg arytmetyczny i geometryczny.
26 mar 10:52
wredulus_pospolitus:
Dostaniemy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego i geometrycznego (jednocześnie) ?
26 mar 10:58
123: Wkradła mi się pomyłka "do drugiej dodamy 1 a od trzeciej odejmiemy 1"*
A co do tego co napisałeś to nie wiem sam
26 mar 11:01
Jerzy:
3 , 6 , 12 − ciąg geometryczny
3 , 7 , 11 − ciąg arytmetyczny
26 mar 11:06
wredulus_pospolitus:
Jeżeli ciąg (już po zamianach) ma być zarówno arytmetyczny jak i geometryczny to z tego wynika,
że musi to być ciąg stały, ponieważ:
mamy ciąg a
1, a
2, a
3 (oraz a
1 ≠ 0) który jest geometryczny, wtedy aby był on arytmetyczny
to musi zachodzić:
| | a1+a3 | |
a2 = |
| ⇔ 2(a1*q) = a1 + a1*q2 ⇔ 2q = 1 + q2 ⇔ q2 − 2q + 1 = 0 ⇔ (q−1)2 = |
| | 2 | |
0 ⇔ q = 1
mamy ciąg a
1,a
2,a
3 którzy jest arytmetyczny, wtedy aby był on geometryczny to musi
zachodzić:
a
22 = a
1*a
3 ⇔ a
22 = (a
2−r)*(a
2+r) ⇔ a
22 = a
22 − r
2 ⇔ r
2 = 0 ⇔ r = 0
Właśnie pokazałem, że jedyna możliwość aby ciąg był zarówno arytmetyczny jak i geometryczny
jest wtedy gdy mamy ciąg stały.
Co powoduje, że w tym zadaniu nie ma takiej możliwości, bo:
'wstępny ciąg'
a
1 = a
1
a
2 = a
1*q
a
3 = a
1*q
2
'ciąg po zmianach'
b
1 = a
1
b
2 = a
2 + 1 = a
1*q + 1
b
3 = a
3 − 1 = a
1q
2 − 1
i teraz:
b
2 = b
1 ⇔ a
1*q + 1 = a
1 ⇔ a
1(q−1) = −1
b
3 = b
1 ⇔ a
1q
2 − 1 = a
1 ⇔ a
1(q
2−1) = 1 ⇔ a
1(q−1)(q+1) = (−1)*(−1)
| | 1 | |
czyli: q+1 = −1 −> q = −2 −> a1 = |
| |
| | 3 | |
więc mielibyśmy (wstępny ciąg):
a przecież mamy zadane, że a
1 + a
2 + a
3 = 21
Sprzeczność
26 mar 11:12
zys:
zgubiłeś drugie rozwiązanie
Jerzy 
26 mar 11:14
wredulus_pospolitus:
gdyby był tylko arytmetyczny (ten po zmianach) to:
a
1, a
2, a
3 <−−− ciąg geometryczny
| | 21 | |
a2+1 = |
| = 7 −> a2 = 6 |
| | 3 | |
a
1, 6 , a
3 <−−− ciąg geometryczny
a
1 + a
3 = 15
| | 6 | |
6 = a2 = a1*q −> a1 = |
| |
| | q | |
a
3 = a
1*q
2
więc:
a
1 + a
1q
2 = 15
a
1(1+q
2) = 15
Δ = ....
więc otrzymujemy dwa (potencjalne) ciągi:
1) 3, 6, 12
2) 12, 6, 3
ale sprawdzamy który z nich spełnia warunki zadania (co do ciągu arytmetycznego)
1) byłoby: 3, 7, 11 <−−− to jest ciąg arytmetyczny
2) byłoby: 12, 7, 2 <−−− to także jest ciąg arytmetyczny
kooooniec
26 mar 11:22
Eta:
a,b,c −− tworzą ciąg geom, ⇒ b
2=a*c
i a+b+c=21 ⇒ a+c=21 −b
oraz a, b+1, c−1−− tworzą ciąg arytm
to 2(b+1)=a+c−1 ⇒ 2b+2=21−b−1 ⇒ 3b=18 ⇒
b=6
to a+c= 15 i a*c=36
to a=3 i c=12 lub a=12 i c=3
i mamy:
3,6,12 lub 12,6,3 −− dwa ciągi geometryczne
================
oraz 3,7,11 lub 12,7,2 −− dwa ciągi arytmetyczne
==================
i po ptokach
26 mar 11:32