Rozrywka matematyczna Niktoś: Jestem niemal przekonany co do poprawności tych rozwiązań, ale lepiej będę się czuł, jak ktoś mi to przejrzy. Są to zadania ze strony omj.edu.pl

	1		1
1) Liczba x+		jest wymierna. Wykaż, że liczba x5+		też jest wymierna.
	x		x5

	1
(x+		)2∊Q
	x

	1
x2+		+2∊Q
	x2

	1
x2+		∊Q
	x2

	1
(x2+		)2∊Q
	x2

	1
x4+		+2∊Q
	x4

	1
x4+		∊Q
	x4

	1		1
(x4+		)(x+		)∊Q
	x4		x

	1		1		1		1
(x4+		)(x+		)=x5+x3+		+		=
	x4		x		x3		x5

	1		1
(x5+		)+(x3+		)
	x5		x3

	1		1
(x5+		)+(x3+		)∊Q
	x5		x3

	1
Do ukończenia dowodu wystarczy więc udowodnić, że liczba x3+		też jest wymierna.
	x3

	1		1
(x2+		)(x+		)
	x2		x

1

1

1

1

1

1

(x2+

)(x+

)=x3+x+

+

=(x3+

)+(x+

)

x2

x

x

x3

x3

x

	1
(x+		)∊Q, czyli
	x

	1
x3+		∊Q,
	x3

co kończy dowód. 2)Dana jest liczba pierwsza p. Wyznacz wszystkie pary (x,y) liczb całkowitych spełniające równanie.

1		1		1
	+		=
x		y		p

obustronnie razy x

	x		x
1+		=		obustronnie razy y
	y		p

	xy
y+x=
	p

Jeśli iloraz iloczynu i liczby pierwszej jest liczbą całkowitą, to przynajmniej jeden z czynników jest przez nią podzielny. Załóżmy, że tą liczbą jest y.

	y
x+y=x(1+		)
	x

	y		y
x*		=x(1+		)
	p		x

y		y
	=(1+		)
p		x

Z tego wynika, że y jest podzielne przez x.

1		x   y
	=
y		x

1		1		x   1+   y
	+		=
x		y		x

Nazwijmy liczbę z mianownika tego ułamka liczbą z. Mamy:

z		1
	=
x		p

1		z
	=
p		pz

Czyli: x=pz

	x
x=p(1+		)
	y

	px
x=p+
	y

Różnica x i p jest całkowita. Nazwijmy ją liczbą a.

	px
a=
	y

ay=px

	y
a*		=p
	x

p nie może być iloczynem dwóch liczb całkowitych większych od 1. To oznacza, że albo

	y
a=1 i		=p
	x

albo

	y
a=p i		=1
	x

Rozpatrzmy pierwszą możliwość. y=xp x−p=1

1		1		1
	+		=
x2−x		x		x−1

x		x2−x		1
	+		=
x3−x2		x3−x		x−1

x2		1
	=
x3−x2		x−1

x3−x2
	=1
x3−x2

To oznacza, że taki wariant pasuje do warunków zadania. To daje nam pierwszą trójkę rozwiązań: x=p+1 y=(p+1)²−p=p²+2p+1−p=p²+p+1 Oraz drugą, uzyskaną analogicznie: y=p+1 x=p²+p+1 Rozpatrzmy drugą możliwość. Otrzymujemy: x=2p y=x=2p Spr.

	1		1		2		1
L=		+		=		=		=P
	2p		2p		2p		p

Czyli to rozwiązanie również jest dobre.

Mila: 1) Pierwsze jest gdzieś na forum. 2) Jutro podpowiem inne rozwiązanie, aby niczego nie pominąć.