ciągi rekurencyjne Kala: Rozważmy równanie rekurencyjne: a0 = 2, a1 = 6, an = an−1 + 6an−2 dla n > 2. Oblicz an dla 0≤n≤10 Na podstawie równania rekurencyjnego oblicz początkowe wyrazy ciągu an/(an−1) i wykorzystując te obliczenia spróbuj podać wzór funkcyjny na an i następnie wykorzystując indukcję matematyczną wykaż poprawność tego wzoru. Ktoś jest w stanie pomóc mi z tym zadaniem? Co w tym wypadku oznacza podanie wzoru funkcyjnego? Jeżeli chodzi o obliczenie an dla 0≤n≤10 to mam po prodtu obliczać wartosc dla każdego n , czy da sie to szybciej zrobić?

Mariusz: Nie lepiej funkcją tworzącą znaleźć wzór na a_n niż bawić się w zgaduj zgadulę a₀=2 , a₁=6 A(x)=∑_n=0^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞6a_n−2xⁿ Sumujemy od dwójki bo rekurencja zachodzi dla n≥2 Pobawmy się w zgaduj zgadulę skoro nas do tego zmuszają a₀ = 2 a₁ = 6 a₂ =18 a₃ =54 a₄ =162 a₅ =486 ... a_n=2*3ⁿ

Kala: dobra, ale ja chciałam, żeby mi to jakoś wyjaśnić możesz napisać coś o tym wzorze funkcyjnym? nie bardzo rozumiem tę całą terminologię W wikipedii patrzyłam, ale ja nic z teorii czystej nie rozumiem

Pytający: Wzór funkcyjny, czyli ten zależny od n (nie od poprzednich wartości ciągu, jak we wzorze rekurencyjnym). Ciąg liczbowy rzeczywisty a_n możesz traktować jako funkcję a: ℕ⁺→ℛ, wtedy a(n)=... i to jest ten wzór funkcyjny, w Twoim zadaniu chodzi o a_n=2*3ⁿ.

Mila: a₀ = 2, a₁ = 6, a_n = a_n−1 + 6a_n−2 dla n > 2.⇔ a_n−a_n−1−6a_n−2=0 − r. jednorodne Równanie charakterystyczne; x²−x−6=0 Δ=25 x=−2 lub x=3 Rozwiązanie jest postaci: a_n=A*(−2)ⁿ+B*3ⁿ A i B wyznaczamy z warunków początkowych: a₀=2=A*(−2)⁰+B*3⁰⇔A+B=2 a₁=6=A*(−2)¹+B*3¹⇔−2A+3B=6 Stąd: A=0 i B=2 a_n=2*3ⁿ =========

Mariusz: Pytający już chyba wyjaśnił co to jest wzór funkcyjny Tutaj chcą zgadywać ale jeśli nie chcemy zgadywać to dobrym sposobem będzie skorzystanie z funkcji tworzących Sposób który podała Mila i tak wymaga zgadywania w przypadku gdy mamy wielokrotne pierwiastki albo równanie niejednorodne Chcą jeszcze wykazać poprawność wzoru indukcją