Oblicz całkę Dino: całka z √x² − 9 dx Próbowałam zrobić podstawienia za całość pod pierwiastkiem, całkowanie przez części itp. ale już nie mam pomysłu. Jak to ugryźć?

Mariusz: Jak masz a > 0 to zastosuj podstawienie √ax²+bx+c=t−√ax Jak masz a < 0 to możesz założyć że b²−4ac > 0 przedstawić trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej i zastosować podstawienie √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t W twojej całce √x²−9=t−x

Dino: Wyszło mi 1/8(√x²−9+x)² − 81/8(1/(√x²−9+x)²) −18/4In |(√x²−9+x) | + C https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral%5Bsqr(x%5E2-9)dx%5D to nawet nie jest podobny wynik T..T

Dino: Może, źle robiłam miałam to dx potem tak wyznaczyć? Bo wyszło coś takiego xdx/√x²−9 = dt− dx i s tego wyznaczyłam dx Potem wyznaczyłam x =(t²+9)/2t i tak powstawiałam

Mariusz: Spróbuj do tego co ci wyszło zastosować wzory skróconego mnożenia tak jak usuwałaś niewymierność z mianownika

1		√x2−9−x
	=
√x2−9+x		(√x2−9+x)(√x2−9−x)

1		√x2−9−x
	=
√x2−9+x		(x2−9)−x2

1		1
	=−		(√x2−9−x)
√x2−9+x		9

I teraz każdy składnik znowu ze wzorów skróconego mnożenia Twój wynik nie jest aż taki pozbawiony sensu

Mariusz: 17 mar 2019 21:55 Łatwiej jest najpierw wyznaczyć x i pierwiastek a następnie zróżniczkować x jako funkcję zmiennej t

Dino: dx=1/2dt−9/2(dt/t²) ?

Mariusz: Tak dx tyle wynosi Jeśli chodzi o twój wynik to tak jak pisałem pokombinuj ze wzorami skróconego mnożenia

Dino: teraz jak podstawiłam to dx to wyszło mi trochę inaczej bo w poprzednim wyszło mi (t²−9)²/4t³ −9/t a teraz bez tego −9/t T..T

Mariusz:

	1	t2−9
Masz dx =			dt
	2	t2

	2t2−t2−9
sqrt{9−x2}=t−x=
	2t

	1	t2−9
sqrt{9−x2}=
	2	t

Zatem

	(t2−9)2
sqrt{9−x2}dx =		dt
	4t3

a co do wyniku to powinien ci wyjść taki jak o 17 mar 2019 21:53 Możesz go jeszcze uprościć korzystając z wzorów skróconego mnożenia

Dino: A mógłbyś mi podpowiedzieć jakie wzory skróconego mnożenia, jakoś naprowadzić ? Bo jak widzę ten logarytm to mam w głowie pustkę :<

Mariusz: Logarytm przepisujesz Najpierw wzór na różnicę kwadratów a później wzory na kwadrat sumy i na kwadrat różnicy

1		√x2−9−x
	=
√x2−9+x		(√x2−9+x)(√x2−9−x)

1		√x2−9−x
	=
√x2−9+x		(x2−9)−x2

1		1
	=−		(√x2−9−x)
√x2−9+x		9

1		81	1
	(√x2−9+x)2−			(√x2−9−x)2
8		8	81

1		1
	((x2−9)+x2+2x√x2−9)−		((x2−9)+x2−2x√x2−9)
8		8

1		1
	(2x2−9+2x√x2−9)−		(2x2−9−2x√x2−9)
8		8

	1
=		x√x2−9
	2

Zatem masz

1		9
	x√x2−9−		ln| √x2 − 9 + x | + C
2		2

Dino: Dziękuję bardzo, już wszystko rozumiem i wszystko ładnie pięknie

Mariusz: Gdybyś miała jeszcze więcej całek podobnych do tej to we wpisie z 17 mar 2019 21:12 pokazałem podstawienia które sprowadzą takie całki do całek z funkcji wymiernych Zauważ że jeśli a > 0 to możemy użyć podstawienia √ax²+bx+c=t−√ax Jeśli a < 0 to możesz przyjąć że b²−4ac > 0 w przeciwnym razie trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem przyjmowałby tylko wartości ujemne Zapisujesz trójmian kwadratowy w postaci iloczynowej i stosujesz podstawienie √a(x−x₁)(x−x₂)=(x−x₁)t Jeżeli znasz rosyjski to trochę o tym skąd się wzięły te podstawienia możesz przeczytać u Fichtenholza a jeśli nie znasz rosyjskiego to musisz zaufać tłumaczeniom

Dino: Już zapisałam sobie te podstawienia ^^ Rosyjskiego jeszcze nie znam, jestem bardzo początkująca na razie, ale może kiedyś będę w stanie poczytać, do tego czasu zaufam Tobie : ) Dziękuję jeszcze raz mądry człowieku