rownanie kawa: Mając równanie:

dy
	+p(x)=q(x)
dx

Jakie dodatkowe warunki muszą być spełnione aby można było wyznaczyć rozwiązanie za pomocą metody uzmienniania stałej ?

kawa:

dy
	+p(x)*y=q(x)
dx

Mariusz: y(x)=u(x)v(x) u'(x)v(x)+u(x)v'(x)+p(x)u(x)v(x)=q(x) u'(x)v(x)+(v'(x)+p(x)v(x))u(x)=q(x) v'(x)+p(x)v(x)=0 v'(x)=−p(x)v(x)

v'(x)
	=−p(x)
v(x)

p(x) musi być całkowalna u'(x)v(x)=q(x)

	q(x)
u'(x)=
	v(x)

q(x)
	musi być całkowalna
v(x)

Adamm: najlepiej żeby q(x), p(x) były ciągłe

kawa: Dzięki

Mariusz: a całkowalność nie wystarczy Na kursach analizy niektórzy przy całkowaniu dają dla uproszczenia warunek ciągłości

kawa: @up Tzn ciągłość nie wystarczy ?

Mariusz: Jeżeli przyjmiemy że są ciągłe to będą także całkowalne natomiast po rozpisaniu wydaję mi się że mogą też całkowalne

Adamm: @Mariusz jeszcze trzeba było wiedzieć czy przy całkowalności mamy jednoznaczność wydaje mi się że nie ma jednoznaczności, ale mogę się mylić wtedy nie do końca wiemy czy znaleźliśmy wszystkie rozwiązania

Adamm: Dodatkowo robimy podejrzane rzeczy typu, dzielimy przez v(x).

Mariusz: Tak trzeba założyć że v(x) ≠ 0 i rozpatrzyć ten przypadek oddzielnie Zajrzałem do skryptu i wymagają tam aby funkcja f(x,y)=−p(x)y+q(x) była ciągła i spełniała warunek Lipschitza

Adamm: Warunek Lipschitza to trochę za dużo, sama ciągłość p, q wystarczy

Adamm: Co prawda można skorzystać tutaj z twierdzenia Picarda, ale to jest równanie różniczkowe liniowe, i możemy trochę opuścić założenia