Ciągi, rekurencja, nieparzysta wielokrotność liczby Enje: Ciąg (an) określony jest rekurencyjnie:

⎧	a1 = k
⎨	a2 = 3k
⎩	an+1 = 2an − an−1 dla n ≥ 2

gdzie k ∊ N. Wykaż, że dowolna nieparzysta wielokrotność liczby k jest wyrazem tego ciągu. czy takie rozwiązanie było by okkay? a₃=5k a₄=7k zauważmy że: a₁,a₂,a₃,a₄ są kolejnymi nieparzystymi wielokrotnościami liczby k a kolejne wyrazy ciągu tworzone są ze wzoru: a_n+1 = 2a_n − a_n−1 liczba nieparzysta x=2n−1, n∊N₊ 1)dla x={1,3} a₁=k, a₂=3 2)załóżmy że dla x>=1: a_n=xk 3) dla n>=2 a_n+1=2(x)k−(x−2)k=(x+2)k kolejne wyrazy ciągu dla każdego n∊N₊ tworzone są kolejnymi nieparzystymi wielokrotnościami liczby k

jc: Od miejsca "liczba nieparzysta x=" w ogóle nie wiadomo, co chcesz powiedzieć.

Enje: ayaya :CC chciałem użyć tego: "Dowód przeprowadzony metodą indukcji matematycznej nazywamy dowodem indukcyjnym; składa się on z dwóch etapów: 1. sprawdzenia, że T(n0) jest prawdziwe, 2. dowodu, że dla każdego n ≥ n0 jeżeli T(n) jest prawdziwe, to T(n + 1) jest prawdziwe."

jc: No to przeprowadź dowód indukcyjny. Co chcemy pokazać? wydaje się, że chcemy pokazać, że a_n = (2n−1)k. Czym będzie T₁? Czym będzie T_n?

Enje: chyba nie rozumiem dalej co jest źle :CC T(n0) jest prawdziwe ||| dla x=1: a₁=k dla każdego n ≥ n0 jeżeli T(n) jest prawdziwe ||| załóżmy że dla x≥1: a_n=xk to T(n + 1) jest prawdziwe ||| dla n≥2 a_n+1=2(x)k−(x−2)k=(x+2)k __________________________________ 1)dla n=1: a₁=k 2)załóżmy że dla n≥1: a_n=(2n−1)k 3) dla n≥2 a_n+1=2(2n−1)k−(2n−1−2)k=k(4n−2−2n+3)=(2n+1)k __________________________________ przecież to jest taki sam zapis a_n+1−a_n=2k a_n+2k=a_n+1 co moim zdaniem należało dowieśc (popraw proszę jeśli to dalej jest nie tak, jak powinno. Możliwe że nie rozumiem dobrze indukcji uczyłem się jej sam z internetu (nie mamy już teraz tego w programie w szkole)

Pytający: Zauważ, że w równaniu rekurencyjnym odwołujesz się do dwóch poprzednich wyrazów ciągu, więc żeby udowodnić indukcyjnie, że a_n=(2n−1)k korzystając z tej zależności rekurencyjnej, musisz pokazać prawdziwość dla n=1 i n=2 i wyjść z założenia prawdziwości dla n=m i n−m−1: • baza indukcyjna: a₁=k=(2*1−1)k a₂=3k=(2*2−1)k • założenie indukcyjne: a_m=(2m−1)k a_m−1=(2(m−1)−1)k=(2m−3)k • krok indukcyjny (m≥2): a_m+1=2a_m−a_m−1= // z założenia // = =2(2m−1)k−(2m−3)k=(4m−2−2m+3)k=(2m+1)k=(2(m+1)−1)k Czyli wzór jest prawdziwy dla n=m+1, o ile jest prawdziwy dla n=m i dla n=m−1 (gdzie m≥2), a stąd (bo jest prawdziwy dla bazy, czyli dla n=m=2 i dla n=m−1=1) a_n=(2n−1)k dla n∊ℕ₊.

Enje: Dziękuję najpiękniej!