podzielnosc bls : Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą i p≥5, to liczba p²−25 jest podzielna przez 24.

Adamm: (p−5)(p+5) p−5, p+5 jedna z tych liczb musi być parzysta, a druga dzielić się przez 4 (bo różnią się o 10, i są obie parzyste) stąd 8|p²−25 Z faktu że żadna z nich nie dzieli się przez 3, a różnią się o 10, mamy też że 3 dzieli jedną z nich (i tylko jedną, chociaż to akurat wsio) 3, 8 są względnie pierwsze, więc dzieli się przez 3*8 = 24

bls : a można by to było jakoś tak algebraicznie? tłumaczenie mniej więcej rozumiem, ale wolałabym to zobaczyć na liczbach, a sama nie za bardzo póki co potrafię to rozpisać

Ateusz: @bls Właśnie wydaje mi się, że algebra w takich dowodach kończy się wraz z rozbiciem liczby na czynniki pierwsze (p−5)(p+5) Ale zawsze możesz sobie popodstawiać jakąkolwiek liczbę pierwszą i zobaczyć co otrzymasz. @Adamm Rozumiem, że podstawową rzeczą aby w ogóle ruszyć z takimi dowodami podzielności, jest wykucie całej tej teorii − czyli, kiedy liczba pierwsza/parzysta dzieli się przez co, w jakich okolicznościach itp, na blachę?

wredulus_pospolitus: p²−25 = (p−5)*(p+5) p jest liczbą pierwszą większą niż 3, więc: 1) p = 6k+1 (nie podzielna przez 2 i przez 3) wtedy mamy: (6k+1 − 5)(6k+1+5) = (6k−4)(6k+6) = 36k² + 12k − 24 = 12(3k² + k − 2) = 12(3k−2)(k+1) albo k+1 jest parzysta (gdy k jest nieparzysta) ... albo 3k−2 jest parzysta (gdy k jest parzysta ... bo wtedy 3*k jest parzysta) 2) p = 6k+5 (6k+5 − 5)(6k+5+5) = 6k*(6k+10) = 36k² + 60k = 12k(3k + 5) i albo k jest parzyste albo (3k+5) jest parzyste (gdy k jest nieparzysta) stąd masz podzielność przez 24 Jeżeli chcesz 'bardziej' to już się musisz bawić w liczby postaci: p = 12k + r gdzie r = 1, 5, 7, 11 Wtedy 'pięknie' wyjdzie Ci 24 'przed nawiasem'.

bls : Dziękuję po raz kolejny

Adamm: @Ateusz takie dowody są zazwyczaj bardzo łatwe, i nie trzeba wiele wiedzieć żeby je wymyślić

Adamm: Co jest potrzebne, potrzebne są definicje, i jakieś podstawowe rzeczy na temat podzielności Wiedza np. co to jest liczba pierwsza, rozkład na czynniki pierwsze, NWD, NWW, algorytm Euklidesa. Jakie własności? Różne. Np. jeśli NWD(a, b) = 1, i a|bc to a|c Bardzo ważna własność którą powinno się znać, i często się przydaje

Adamm: Jeśli chodzi o elementarną teorię liczb, to często również mogą przydać się tkzw. kongruencje, czyli relacje podzielności, i twierdzenia z nimi związane, takie jak np. tw. Eulera