Stosunek pól trojkatow Magda: Zadanie 5. W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 punkty 𝐷, 𝐸 dzielą bok 𝐴𝐵 na trzy odcinki równej długości; punkty 𝐹, 𝐺 dzielą bok 𝐵𝐶 na trzy odcinki równej długości, a punkt 𝐻 jest środkiem boku 𝐴𝐶 (zobacz rysunek). Oblicz jaką część pola trójkąta 𝐸𝐺𝐻 stanowi pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶. Mógłby mi ktoś ogarnąć to zadanie bez sinusów?

janek191: Pewnie powinno być : jaką część pola Δ ABC stanowi pole ΔEGH ?

wredulus_pospolitus: Zauważ, że pole szukanego trójkąta to nic innego jak: P_ABC − P{AEH} − P{EBG} − P{HGC} zauważ, że na wysokości ΔABC zaznaczyłem przerywanymi liniami pewne miejsca ... korzystając z tw. Talesa mogę wykazać, że czerwone wartości wyznaczają punkty które dzielą wysokość na 3 równe części (a odcinki łączące je z odpowiednią G i F będzie będą RÓWNOLEGŁE do podstawy AB) natomiast niebieski punkt dzieli wysokość na pół i tak 'jest na wysokości' punktu H Tak więc stąd wiemy, że:

	1		2		1		1
P(AEH} =		*		|AB|*		h =		PABC
	2		3		2		3

	1		1		2		2
PEBG =		*		|AB|*		h =		PABC
	2		3		3		9

Jedynie pozostaje wyznaczyć P_CGH aby to zrobić trzeba poprowadzić wysokość trójkąta ABC z wierzchołka A i zastosować to co wcześniej zastosowałem. Ze względu na to by rysunek był przejrzysty tego nie uczyniłem. Zostawiam to Tobie, tak samo jak wyliczenie tegoż pola. Postaraj się to uczynić samodzielnie.

Magda: Czyli P_ABC = ¹₂ * |BC| * h₂ P_CGH = ¹₂* ¹₃ |BC| * ¹₂ * h₂= ¹₆ P_ABC Suma tych trzech pól to: ¹₃ + ²₉ + ¹₆ = ¹³₁₈ Więc stosunek pól wynosi ⁵₁₈ Dobrze?