Otoczenie funkcji g, funkcje pochodne Kam: Wskaż wzór funkcji liniowej g, która w otoczeniu x=0 najlepiej przybliża funkcję f(x)= e^−x a) g(x)=1 b) g(x)= 1+x c) g(x)= 1−x d) g(x)= − x − 1 Ktoś pomoże ora wytłumaczy ?

wredulus_pospolitus: 1) zacznijmy od tego, że funkcja która będzie 'najlepiej przybliża' musi przyjmować taką samą wartość w x=0 a skoro f(0) = e⁰ = 1 to (d) g(0) = −1 NA PEWNO ODPADA 2) skoro ma 'najlepiej przybliżać' to musi też mieć podobną monotoniczność jako, że f(x) = e^−x jest funkcją MALEJĄCĄ (wykres funkcji wykładniczej się kłania) to (b) = 1+x odpada (jako, że jest to funkcja rosnąca) I w ten sposób już ograniczyliśmy do dwóch odpowiedzi.

wredulus_pospolitus: A tak w ogóle, to w otoczeniu x=x_o 'najlepiej przybliżać' funkcję będzie taka funkcja liniowa, która jest STYCZNA do tejże funkcji w x=x_o Czyli: musisz po prostu wyznaczyć styczną do f(x) w punkcie x=0 (i tak ... to będzie g(x) = 1−x)

Kam: Nie wiem czy jest już późno, a ja cały dzień miałem zajęcia, czy faktycznie jestem tępy jak siekiera po 20 latach użytkowania, lecz po przeczytaniu jednokrotne nie wiele zrozumiałem.. Będę musiał to poważnie przeanalizować w takim razie.

Kam: https://zapodaj.net/2d3c02abf7538.png.html Mógłbyś jeszcze zerknąć na to zadanie? Doszedłem do tego momentu:

Kam: ^2x2_1+x = ^{4x*(1+x)−2x2*1}_(1+x)² = ^4x+4x2−2x2_(1+x)² = ^4x+2x2_(1+x)² = 4x + 2x² = 2x(2+x) = 2 + x f ' (x) = 0 <=> 2+x = 0 <=> x= −2 punkt stacjonarny f ' (x) > 0 <=> 2+x > 0 <=> x> − 2 / x< −2 f(−2) = ^2*(−2)2₁₊₍₋₂₎ = ^2*4₋₁ = −8

Kam: Nie wiem, czy cokolwiek da się rozczytać, bardzo niewyraźnie wyszło.

Kam: Wytłumacz mi proszę tylko to zadanie jeszcze i już daje spokój, natomiast muszę przez to jeszcze jedno zadanie przejść

wredulus_pospolitus:

	1
Na przyszłość ułamki zapisuj przy pomocy U		a nie u 1√2 ... o wiele łatwiej
	√2

wtedy zobaczyć co tam jest napisane

Kam: A, okay. Przepraszam. Faktycznie tak o wiele lepiej. Jesteś w stanie przeczytać te bazgroły, czy poprawić na U?

Kam: + to co napisałem to nie iwem czy jakkolwiek coś tam dobrze wyszło

wredulus_pospolitus:

	2x2
f(x) =		; Df = R/{−1}
	1+x

	4x(1+x) − 2x2*1		2x2 + 4x		2x(x+2)
f'(x) =		=		=
	(1+x)2		(1+x)2		(1+x)2

f'(x) = 0 ⇔ 2x(x+2) = 0 ⇔ x = 0 lub x = −2 (dwa punkty podejrzane o bycie ekstremami i tak oba nimi będą) f'(x) > 0 ⇔ a) 2x> 0 oraz (x+2) > 0 czyli dla x>0 b) 2x<0 oraz (x+2) < 0 czyli dla x<−2 więc f(x) ↗ w (−∞,−2) f(x) ↘ w (−2,−1) f(x) ↘ w (−1,0) f(x) ↗ w (0, +∞)

	2*(−2)2
w takim razie x = −2 jest maksimum lokalnym (odnośnie odp D), f(−2) =		= −8
	1 − 2

(odnośnie odp B)

	2*02
w takim razie x = 0 jest minimum lokalnym (odnośnie odp A), f(0) =		= 0 (odnośnie
	1+0

odp C) Więc jakie będą poprawne odpowiedzi

wredulus_pospolitus: tak mniej więcej powinno wyglądać rozwiązanie ... chociaż ja sam osobiście robiłbym szkic wykresu pochodnej (tzw. 'metoda wężyka' ) Jednak wolę nie mieszać Ci w głowie (bo tego też zapewne nie kojarzysz z gimnazjum).

Kam: Hmmm, a,b,c?

Kam: Obawiam się, że albo tej metody nie miałem, albo nie było mnie na takich zajęciach... Nie chce zwalać na nauczycieli, bo tak najłatwiej, więc biorę winę na siebie.

wredulus_pospolitus: Przy okazji. Dodaj do ulubionych w przeglądarce: https://www.wolframalpha.com/input/?i=2x%5E2%2F(1%2Bx) Pomoże przy sprawdzaniu pochodnych, wykresów funkcji i przede wszystkim − całek (gdy już je mieć będziecie, a mieć będziecie).

wredulus_pospolitus: tak ... Jedynie D odpada

Kam: Super, bardzo Ci jestem wdzięczny. Z pewnością zapiszę, jak i skorzystam z strony. Nie wiem jak Ci dziękować, ileś Ty się ze mną tutaj naszarpał