Ciągi Kuba : Podaj wzór ogólny ciągu (nieskończonego) kiedy wiadome są kolejne wyrazy 13 104 1005 10006........ Zadanie mieliśmy na sprawdzianie jako dodatkowe i nic mi do głowy nie przychodził, więc proszę tutaj o pomoc

wredulus_pospolitus: a₁ = 10 + 3 a₂ = 100 + 4 a₃ = 1000 + 5 a₄ = 10000 + 6 widzisz zawiązek

Kuba : Kurde faktycznie, dzięki za szybką odp

wredulus_pospolitus: I teraz pewnie sobie myśli: "jakie to proste". No niestety − często w zadaniach 90% to 'zauważenie' tego 'czegoś'

Mariusz: a₀=13 a₁=10*(a₀−3)+4 a₂=10*(a₁−4)+5 a₃=10*(a₂−5)+6 a_n=10a_n−1−10(n+2)+(n+3) a_n=10a_n−1−9n−17 a_n−1=10a_n−2−9n−8 a_n−a_n−1=10a_n−1−10a_n−2+(−9n−17)−(−9n−8) a_n=11a_n−1−10a_n−2−9 a_n−1=11a_n−2−10a_n−3−9 a_n−a_n−1=(11a_n−1−10a_n−2)−(11a_n−2−10a_n−3) a_n−a_n−1=11a_n−1−21a_n−2+10a_n−3 a₀=13 a₁=104 a₂=1005 a_n=12a_n−1−21a_n−2+10a_n−3 A(x)=∑_n=0a_nxⁿ ∑_n=3^∞a_nxⁿ=∑_n=3^∞12a_n−1xⁿ+∑_n=3^∞−21a_n−2xⁿ+ ∑_n=3^∞a_n−3xⁿ ∑_n=3a_nxⁿ=12x(∑_n=2^∞a_nxⁿ)−21x²(∑_n=1^∞a_nxⁿ)+ 10x³(∑_n=3^∞a_nxⁿ) ∑_n=0^∞a_nxⁿ−13−104x−1005x²=12x(∑_n=0^∞a_nxⁿ−13−104x) −21x²(∑_n=0^∞a_nxⁿ−13)+10x³(∑_n=3^∞a_nxⁿ) A(x)−13−104x−1005x²=12x(A(x)−13−104x)−21x²(A(x)−13)+10x³A(x) A(x)(1−12x+21x²−10x³)=13+104x+1005x²−156x−1248x²+273x² A(x)(1−12x+21x²−10x³)=13−52x+30x²

	13−52x+30x2
A(x)=
	1−12x+21x2−10x3

1−12x+21x²−10x³ 1−x−11x+11x²+10x²−10x³ (1−x)−11x(1−x)+10x²(1−x) (1−x)(1−11x+10x²) (1−x)(1−x−10x+10x²) (1−x)(1−x)(1−10x) (1−10x)(1−x)²

13−52x+30x2		A		B		C
	=		+		+
1−12x+21x2−10x3		1−10x		1−x		(1−x)2

A(1−2x+x²)+B(1−11x+10x²)+C(1−10x)=13−52x+30x² A+B+C=13 −2A−11B−10C=−52 A+10B=30 −9C=13−52+30 −9C=−9 C=1 A+B=12 A+10B=30 C=1 B=2 A=10

13−52x+30x2		10		2		1
	=		+		+
1−12x+21x2−10x3		1−10x		1−x		(1−x)2

	1
∑n=0∞xn=
	1−x

d		d		1
	(∑n=0∞xn)=		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=1∞nxn−1=
	(1−x)2

	1
∑n=0∞(n+1)xn=
	(1−x)2

13−52x+30x2
	=10(∑n=0∞10nxn)+2(∑n=0∞xn)
1−12x+21x2−10x3

+∑_n=0^∞(n+1)xⁿ a_n=10*10ⁿ+2+(n+1) a_n=10*10ⁿ+n+3

Wolodyjowski: Jest jakiś prostszy sposób?

janek191: Patrz na 13.55 a₁ = 10 + 3 a₂ = 100 + 4 a₃ = 1000 + 5 itd, więc a_n = 10ⁿ + n + 2