Ekstrema funkcji BoosterXS:

	x2−4
Funkcja określona wzorem f(x) =		, xεR\{0}
	x

Wybierz poprawną odpowiedź: a) Jest malejąca w R\{0}. b) Jest rosnąca w R\{0}. c) Posiada 2 ekstrema lokalne. d) Nie posiada ekstremów lokalnych.

	x2+4		x2+4
Obliczyłem f'(x) =		, f'(x)=0 ⇒		= 0 ⇒ x2+4 = 0 ⇒ x2 = −4
	x2		x2

Brak rozwiązań(brak punktów podejrzanych o ekstremum).

	x2+4
Rozwiązuję		> 0 F. rosnąca dla xε(0;∞)
	x2

	x2+4
Rozwiązuję		< 0 F. malejąca dla xε(−∞;0)
	x2

	x2−4
Ale jak rysuję funkcję f(x) =		w WolframAlpha to widać, że jest rosnąca w całym
	x

R\{0}. Ostatecznie pasują mi odpowiedzi b) oraz d), ale powinna być tylko jedna. Zweryfikuje ktoś?

Bleee: A jakim cudem dla x<0 masz f' < 0 przecież licznik i mianownik jest zawsze dodatni. Funkcja f(x) NIE JEST rosnąca w R/{0}. Jest rosnąca w (−∞, 0) oraz w (0,+∞). Częsty błąd studentów.

	x4
Przykładem funkcji rosnącej w R/{0} jest f(x) =
	x

BoosterXS:

	x2+4
Faktycznie,		< 0 ⇒ brak rozwiązań. Nie wiem skąd ja wziąłem to wyżej
	x2

	x2+4
Czy dobrze rozumiem, że rozwiązując		> 0 otrzymuję xε (−∞, 0) oraz xε (0,∞),
	x2

a więc tak jakby dwa różne przedziały gdzie funkcja rośnie?

ICSP: Funkcja jest rosnąca w każdym z przedziałów (− ∞ ; 0) oraz (0 ; ∞) ale nie jest rosnąca w R \ { 0 }

BoosterXS: Dzięki

wredulus_pospolitus: Napisanie, że f(x) jest rosnąca w (a,b) niesie za sobą to, że funkcja f(x) w tym przedziale jest monotoniczna (w końcu rosnąca), więc można z definicji monotoniczności napisać: ∀_{{x,y} ∊ (a,b)} x<y ⇒ f(x) < f(y) (to akurat jest w odniesieniu do rosnącej funkcji)

	x2+4
Natomiast dla f(x) =
	x2

mamy:

	4+4
f(−1) = 5 > 2 =		= f(2)
	4

W tym momencie (wystarczy jeden kontrprzykład) pokazałem, że nie prawdą jest, że funkcja f(x) jest rosnąca w R/{0} Zapisując jako dwa przedziały: w (−∞,0) ; w (0;+∞) przy braniu x,y z przedziałów, bierzesz obie wartości z jednego i tego samego przedziału (i wtedy wszystko pięknie pasuje). Mam nadzieję, że pomogłem