udowodnij ze dla dowolnych liczb paweu: udowodnij ze dla dowolnych liczb x, y, z roznych od zera prawdziwa jest nierownosc 2x² + 5y² + 3z² − 6xy − 2xz + 5yz > 0

PW: Zapewne można to jakoś pogrupować, żeby zobaczyć sumę kwadratów, ale jakoś nie mam cierpliwości, więc spróbuję metodą toporną, ale pewną. Niech y=px i z=qx, p, q≠0. Badana nierównośc przyjmuje postać 2x²+5p²x²+3q²x²−6px²−2qx²+5pqx²>0, po podzieleniu przez x²≠0 2+5p²+3q²−6p−2q+5pq > 0 (1) 5p²+(5q−6)p+3q²−2q+2 > 0 Δ(q) = (5q−6)²−4•5(3q²−2q+2) = 25q²−60q+36−60q²+40q−40 = −35q²−20q−4 Jak łatwo sprawdzić Δ(q) < 0 dla wszystkich q, a więc nierówność (1) jest prawdziwa dla wszystkich p, q, co jest równoważne tezie

jc: Żadne grupowanie, tylko uzupełnianie do pełnego kwadratu czyli diagonalizacja Lagrange. Aby uniknąć ułamków mnożę przez 2. 2(x²+5y²+3z²−6xy−2xz+5yz)= 4x²+10y²+6z²−12xy−4xz+10yz= (2x−3y−z)² + y²+5z² + 4yz = (2x−3y−z)² + (y+2z)² + z²

PW: Dlatego nie mogłem tak "hop−siup" na to wpaść