Wyznacz pochodną funkcji Kam: Na rysunku linią szarą zaznaczony jest wykres funkcji f a linią niebieską prosta styczna do tego wykresu. Korzystając z danych na rysunku wyznacz F ' (0), a następnie wskaż prawidłowe odpowiedzi. a) F ' (0) = 1 b) F ' (0) jest prostą o równaniu y = x + 1 c) F ' (0) = 0 d) F ' (0) jest prostą o równaniu x = 1 Pomoże mi ktoś to rozwiązać? Za nic w świecie nie wiem jak się do tego zabrać. Wydaje mi się, że muszę ustalić wzór funkcji f(x), a potem dzięki temu będę mógł dojść do odpowiedzi poprzez podstawienie liczby 0 w miejsce x, ale nie wiem czy dobrze myślę.

iteRacj@: Funkcja f(x) ma w x_o=0 maksimum. Jaka wartość ma dla x_o=0 f.pochodna?

Kam: 0?

iteRacj@: Tak, a ustalanie wzoru funkcji f(x) nie jest potrzebne, nawet nie jest możliwe na podstawie tego rysunku.

Kam: Nie do końca rozumiem Twój sposób na rozwiązanie, mógłbyś wytłumaczyć?

Kam: Czyli rozumiem, że odpowiedzią będzie c) F ' (0) = 0? Co z innymi odpowiedziami? Tutaj może być wiele prawidłowych, ale nie musi.

iteRacj@: To jeszcze jedna informacja odczytana z wykresu. Styczna do wykresu f(x) w pkt x_o=0 jest równoległa od osi OX. Jaki jest jej współczynnik kierunkowy?

Kam: Mówisz o stycznej koloru niebieskiego? Hmm… Jeżeli by rosła to dodatnia, jeżeli by spadała to minusowy współczynnik kierunkowy, a ona stoi w miejscu. Ja bym tą styczną określił jako y=1

iteRacj@: Dobrze podałeś jej równanie. Jaki współczynnik kierunkowy ma prosta o równianiu y=1?

Kam: 0, nie prawdaż?

iteRacj@: Tak, ten współczynnik kierunkowy ma wartość 0 i tak jest też wartość pochodenj dla x_o=0. Odp. c/ prawidłowa, a/ odpada

Kam: b oraz d odpowiedz także odpada prawda?

iteRacj@: A wiesz dlaczego?

Kam: Jeśli f(x) = sine^x, to f ' (x) jest równe (dla każdego x, dla którego f ' (x) istnieje): a) cose^x b) (cosx) * e^x c) (cose^x) * (e^x) ' d) (cose^x) * e^x Jesteś w stanie to wytłumaczyć, jeżeli mogę Cię o to prosić?

Kam: Hmm odpowiedz b oraz d nie podoba mi się, gdyż: 1) ta funkcja nie jest prostą, ale nie wiem czy dobrze myślę, ona jest parabolą.

iteRacj@: f(x) = sin(e)^x czy f(x) = sin(e^x)?

Kam: f(x) = sin * e^x, czyli f(x) = sin(e^x) wydaje mi się.

iteRacj@: Pochodna w punkcie 0 to liczba → b/, d/ odpada.

Kam: Masz na myśli, że pochodną w punkcie f ' (0) = liczba, a nie wzór funkcji? Wybacz jeżeli zadaje głupie pytania, ale nie jest ten dział dla mnie łatwy, a bardzo chce go zrozumieć.

iteRacj@: Zapis f(x) = sin * e^x jest bez sensu. Jeśli f(x) = sin(e^x), to f'(x) = cos(e^x) * e^x

Kam: W zadaniu mam dokładnie tak: Jeśli f(x) = sin e^x, to ……. Słownie: sinus (spacja) e podniesiona do potęgi x, to ….

Kam: Ok ogarnąłem już o co Ci chodziło z tymi błędnymi odpowiedziami b oraz d. Skoro F ' (0) = 0 to nie może być równe y = x+1 (odpowieedz b) lub y=1 (odpowiedz d)

Kam: Czyli w tym drugim zadaniu odpowiedz d? Gdyż nie bardzo pokrywa się ona z Twoją odpowiedzią, którą udzieliłeś. Mógłbyś to przy okazji wytłumaczyć chociaż trochę ?

iteRacj@: 21:23 tak, pochodna w konkretnym punkcie to liczba. Wzory z pkt b/, d/ mogłyby opisywać funkcję pochodną (czyli "przepis" na pochodne dla każdego argumetu) jakiejś funkcji (nie tej z rysunku).

Kam: Rozumiem, pierwsze zadanie wydaje mi się, że mniej więcej zrozumiałem.

Kam: Jesteś w stanie wytłumaczyć drugie?

iteRacj@: podana funkcja F(x)=sin e^x to funkcja złożona pochodna f. złożonej [f(g(x))]'=f'(g(x))*g(x)' tutaj f. wewnętrzna to g(x)=e^x, jej pochodna to g(x)'=1*e^x pochodna funkcji sin x to f.cos x (czyli ten sam argument) f'(g(x))= cos(e^x), g(x)'=1*e^x F'(x)= cos(e^x) * e^x

Kam: Wszystko wygląda faktycznie na możliwe. Gdzieś już mi się "obił o uszy" ten wzór na fnkcję złożoną. Masz chyba w 100% rację.

Kam: Tylko problem w tym, że nie mam takiej odpowiedzi co Ty podałeś

iteRacj@: Wofram się nie myli, ludzie czasem tak https://www.wolframalpha.com/input/?i=%5Bsin(e%5Ex)%5D%27

Kam: moje odpowiedzi to cos e^x (cosx) * e^x (cos e^x) * (e^x) ' (cos e^x) * e^x

iteRacj@: to odpowiedź d/

Kam: Ok, bardzo Ci dziękuje. Pomożesz przy ostatnim? Wydaje się troszkę prostsze. Jeśli f(x) = x^x2, to f ' (x) jest równa (dla wszystkich x, dla których f ' (x) istnieje): c) 2 * x^x2 (x podniesione do x podniesione do 2) d) x² * x^x2−1 (x podniesione do {x podniesione do 2}−1), czyli jedynke odejmij od x²

Kam: Jesteś w stanie pomóc z ostatnim?

iteRacj@: bardzo ładnie narysowane odp. b/

Kam: jedynie ? Dziękuje

iteRacj@: tylko b/ zapis a/ nie jest równoważny wyjściowemu wyrażeniu x^x2

Kam: a odpowiedz c) oraz d)?

iteRacj@: Czy poprawną odpowiedź b/ da się przekształcić do postaci c/ lub d/? Nie, więc nie są to odp. prawidłowe.

Kam: Ok, przeanalizuje. Moment.

Kam: Masz rację, jedynie odpowiedz D jest odpowiedzią poprawną Przeserdecznie Ci dziękuje. Nie wiem jak Ci się odwdzięczyć

iteRacj@: Ucz dalej innych matematyki : ) Albo czegoś innego, co lubisz, niech też to polubią.

Kam: Piękne słowa jak i sposób odwdzięczenia się, zapamiętam to sobie