Geometria analityczna w R^3 Omikron: Mam problem z kilkoma zadaniami z geometrii analitycznej. Zad 1. Znaleźć równanie prostej przecinającej prostopadle proste l₁: (x,y,z) = (1,−1,3) + [1,−2,−1]t oraz l₂: +4y −z = 0 −2y + z + 1 = 0 Nie mam zupełnie pomysłu jak do tego podejść. Na początku można sprawdzić czy iloczyn wektorowy wektorów kierunkowych l1 i l2 nie równa się 0, żeby wykluczyć równoległość, ale dalej nie wiem co robić, jakoś ciężko mi to sobie wyobrazić. Czy ten iloczyn wektorowy o którym wspomniałem da mi wektor kierunkowy szukanej prostej? A jeżeli tak to jak mogę znaleźć punkt? Zad 2. Znaleźć równanie prostej równoległej do płaszczyzn: H₁: 2x + 12y − 2z − 5 = 0 i H₂: 3x − 4y + 9z + 7 = 0 oraz przecinającej proste:

	x+5		y−3		z−2
l1:		=		=		i l2: x = 3 − 2t, y = −1 + 3t, z = 2 + 4t
	2		−4		2

Biorę wektory normalne z płaszczyzn i obliczam iloczyn wektorowy. Powstaje mi wektor kierunkowy szukanej prostej (tak mi się wydaje przynajmniej). Nie wiem jednak jak wykorzystać informacje o przecinaniu prostych do znalezienia punktu. Zad 3. Znaleźć równanie dwusiecznych kątów jakie tworzą między sobą proste: l₁: x =0, y = 1 + 3t, z = 1 − 4t oraz l₂: x = 6t, y = 1, z = 1 + 8t Tutaj zapewne chodzi o wykorzystanie tego że dwusieczne są tworzone przez punkty równoodległe od obu prostych, ale nie mam pomysłu jak. Z góry dziękuję za pomoc.

jc: Pierwsza prosta: x=0 y=1+3t z=1−4t Druga prosta: x=6t 1=1 z=1+8t Kierunki prostych: (0,3,−4), (3,0,4). Wektory o tej samej długości. Wektory wskazujące dwusieczne: suma = (3,3,0) oraz różnica = (3,−3,8) Proste przecinają się w punkcie (0,1,1). Dwusieczne (x,y,z)=(0,1,1)+t(3,3,0) oraz (x,y,z)=(0,1,1)+t(3,−3,8).

jc: (2) Kierunek prostej (1,6,−1) x (3,−4,9) =(50, −12, −22) || (25,−6,−11) Dwie pozostałe proste: (x,y,z)=(5,−3,−2) + t(1,−2,1) (x,y,z)=(3,−1,2) + t(−2,3,4) Tyle na wstępie. cdn

jc: Szukana prosta przechodzi przez punkt przecięcia płaszczyzny (x,y,z)=(5,−3,−2)+t(1,−2,1)+s(25,−6,−11) i prostej (x,y,z)=(3,−1,2) + r(−2,3,4) Widzę tu dwa sposoby: rozwiązanie układu 3 równań z 3 niewidomymi lub zapisanie płaszczyzny z użyciem równania ogólnego i znalezienia przecięcia. Spróbujmy układ równań: (5,−3,−2)+t(1,−2,1)+s(25,−6,−11)=(3,−1,2) + r(−2,3,4) 2r+25s+t=−2 −3r−6s−2t=2 −4r−11s+t=4 ... może coś pomyliłem w rachunkach, wynik nie jest zbyt ładny

	1
(x,y,z)=		(−32,−1,13) + s(25,−6,−11)
	38

Omikron: W zadaniu 3 rozumiem, że chodzi o zastosowanie reguły równoległoboku (tylko rombu w tym przypadku)? W zadaniu 2 pierwsza prosta powinna być (x,y,z)= (−5, 3, 2) + t(1,−2,1). Mógłbyś jeszcze powiedzieć jakie byłyby kroki rozwiązania tym drugim sposobem? Czyli jak można zapisać w tym przypadku płaszczyznę przy użyciu równania ogólnego i jak znaleźć przecięcie (chociaż to drugie to chyba kwestia podstawienia).

jc: Bardzo nie lubię tej notacji, więc może dlatego odwróciłem. (−5,3,2)+t(1,−2,1)+s(25,−6,−11)=(3,−1,2) + r(−2,3,4) Dalej jednak otrzymuję brzydki wynik. Jak możemy sobie rzecz wyobrazić? Pomyśl o pierwszej prostej przeciętej przez szukaną prostą. Dwie wymienione proste wyznaczają pewną płaszczyznę. Aby wyznaczyć wspomnianą płaszczyznę wystarczy pierwsza prosta, czyli jakiś punkt na niej leżący i jej wektor kierunkowy oraz wektor kierunkowy szukanej prostej. Szukana prosta leży na tak określonej płaszczyźnie. Przecięcie płaszczyzny z drugą daną prostą da nam punkt na szukanej prostek. To wystarczy bo przecież kierunek znamy. −−− Jak wspomniałem, płaszczyznę można opisać parametrycznie (mój rachunek) lub napisać równanie ogólne. W moim rozwiązaniu znajdujemy 3 parametry. Aby znaleźć punkt przecięcia wstawimy s,t do równania płaszczyzny lub r do równania prostej (obawiam się, że te parametry uznałem z współrzędne punktu).

Omikron: Ok, wszystko jasne! Bardzo dziękuję.