Dowód trygonometria ada.kot: Wykaż, że dla dowolnego kąta α prawdziwa jest równość sin²α+sin²(120°+α)+sin²(120°−α)=³₂

wredulus_pospolitus: sin²a + sin²(120+a) + 2sin(120+a)sin(120−a) + sin²(120−a) −2sin(120+a)sin(120−a) = = sin²a + (sin(120+a) + sin(120−a))² −2sin(120+a)sin(120−a) = = sin²a + (2sin(120)cosa)² + (cos(240) − cos(2a)) = = sin²a + 4sin²(120)(1 − sin²a) + (cos(240) − cos(2a)) = = sin²a(1 − 4sin²(120)) + 4sin²(120) + (1 − 2sin²(120)) − (1 − 2sin²a) = = sin²a(1 − 4sin²(120) + 2) + 2sin²(120) + 1 −1 =

	√3
// zauważ, że sin(120) = sin(90+30) = sin(90−30) = sin(60) =		//
	2

	3		3
= sin2a(1 − 4*		+ 2) + 2*		+ 0 =
	4		4

	3		3
= sin2a *0 +		=
	2		2

c.n.w.

ada.kot: skąd się wzięła ta część pierwszej linjki 2sin(120+a)sin(120−a) + sin2(120−a) −2sin(120+a)sin(120−a)?

wredulus_pospolitus: a² + b² = a² + b² + 2ab − 2ab = czyli dodałem i odjąłem pewną 'wartość' = (a+b)² − 2ab aby zastosować wzór skróconego mnożenia

prof.Miodek: Piszemy : "po linii najmniejszego oporu" ( bo nie ma "najmniejszej linii"

Mila: Tak, dziękuję za uwagę Zapamiętam.

Mila:

	√3		1
sin(120−α)=sin120*cosα−cos120*sinα=		*cosα+		sinα
	2		2

	√3		1
sin(120+α)=sin120*cosα+cos120*sinα=		*cosα−		sinα
	2		2

wstawiamy do lewej strony równości:

	√3		1		√3		1
L=sin2α+(		*cosα+		sinα)2+(		*cosα−		sinα)2=
	2		2		2		2

	3		√3		1
=sin2α+		cos2α+		*sinα*cosα+		sin2α+
	4		2		4

	3		√3		1
+		cos2α−		*sinα*cosα+		sin2α =
	4		2		4

	3		1
=sin2α+		cos2α+		sin2α=
	2		2

	3		3
=		*(sin2α+cos2α)=		=P
	2		2