szacowanie pierwiastków, szk. podst. a7: liczba √26 + √10 jest a) większa od 9, b) mniejsza od 9 jak to się szacuje?

Mariusz: √26 < 5.1 √10 < 3.2 5.1+ 3.2 = 8.3 8.3 < 9 zatem ta suma jest mniejsza od 9

Mariusz: Ze wzorów skróconego mnożenia i pozycyjnego zapisu liczby można wyprowadzić sposób pierwiastkowania pisemnego który pomaga w szacowaniu Do szacowania można też użyć metod numerycznych jak np metoda Newtona

a7: dzięki , chodziło mi jak to się robi w szkole podstawowej czyli ten pierwszy użyty przez Ciebie sposób

Mariusz: Ja w podstawówce jeszcze miałem i wzory skróconego mnożenia i pozycyjny zapis liczby więc teoretycznie mógłbym wyprowadzić sposób pisemny obliczania pierwiastków a jak to jest teraz w podstawówkach ?

piotr: (√26+√10)² | 9² 36 + 4√65 | 81 4√65 | 45 √65 < 9 ⇒ 4√65 < 45 ⇒ √26+√10 < 9

PW: Wiadomo, że √26 = 5+x, x>0 √10 = 3+y, y>0, po dodaniu stronami (1) √26+√10 = 8 + x + y Pierwsza równość po podniesieniu do kwadratu daje 26 = 25+10x+x² 1 = 10x + x² 1 = x(10+x)

	1
x =
	10+x

	1
Ułamek po prawej stronie ma mianownik większy od 10, jest zatem mniejszy od
	10

	1
(2) x <		.
	10

Podobnie 10 = 9 + 6y + y² 1 = 6y + y²

	1
y =		,
	6+y

skąd

	1
(3) y <		.
	6

Zastosowanie (2) i (3) w (1) daje

	1		1		16
√26+√10 < 8 +		+		= 8 +		< 8 + 1 = 9.
	10		6		60

Otrzymane w ten sposób oszacowanie jest "niezłe":

	4
√26+√10 < 8+		< 8,267,
	15

podczas gdy kalkulator daje √26+√10 < 8,262. Nie sądzę, żeby uczeń podstawówki wymyślił takie oszacowanie, nie uczy się takich rzeczy. Co innego, gdyby mu pokazać − są zdolne bestie .

a7: Dzięki

Mariusz: PW to już wzorów skróconego mnożenia i pozycyjnego zapisu liczby nie ma w podstawówce ? To wystarczy do wyprowadzenia sposobu pisemnego

PW: O czym mówisz? Stałeś kiedyś przed klasą uczniów szkoły podstawowej? Masz jakiś kontakt z aktualnymi uczniami? To, że coś jest możliwe do wyprowadzenia, nie oznacza że można tego nauczyć jakąś sensowną grupę uczniów w ograniczonym czasie.

Eta: Mariusz jak zwykle..................................................................... .........................

Mila: √26 W dawnej podstawówce ( 8 klas) to było ćwiczenie na zrozumienie definicji pierwiastka ( i nie tylko) i szacowało się, tak: (bez kalkulatora, były podane jakieś tam warunki) ustalono , że : 5<√26<6 Ktoś podawał, że 5.5 5.5²=5.5*5.5=30.25 za dużo to zmniejszano , dyskutowano, liczono. Na sprawdzianie nie było problemu dla nikogo i była satysfakcja z dobrej oceny tego zadania.

ABC: Mnie uczono podobnie jak ten sposób 5 marca 9:17, jakieś 35 lat temu

Mila: To zależy ABC w której klasie.

ABC: o ile pamiętam w ósmej, nauczycielka była dość ambitna

PW: Mnie uczono pisemnego sposobu obliczania pierwiastka, było to w ósmej klasie (pierwsza klasa liceum), pięćdziesiąt parę lat temu. Było to sensowne − jeżeli chciałeś liczyć pierwiastek z zadaną dokładnością, a nie było pod ręką odpowiednio dokładnych tablic. O kalkulatorach nikt wtedy nie marzył. Dzisiaj ta umiejętność nie jest wymagana, bo szkoda czasu − są kalkulatory. Dobrze, jeżeli uczniowie rozumieją możliwość dowolnego przybliżania pierwiastków za pomocą liczb dziesiętnych, jak to opisała Mila.

Mariusz: Z pozycyjnego zapisu liczby wiadomo że liczbę można przedstawić w postaci 10a+b Ze wzorów skróconego mnożenia (10a+b)²=100a²+20ab+b² Jeśli odrobinę przekształcimy powyższą równość to otrzymamy (10a+b)²−100a²=(20a+b)b i to jest podstawą sposobu pisemnego Do przedstawienia tego sposobu potrzeba i wystarcza znajomość wzorów skróconego mnożenia i pozycyjnego zapisu liczby Myślę że można "tą sensowną grupę uczniów " tego nauczyć

Mariusz: Jeżeli chodzi o mnie to możliwe było abym ten sposób wyprowadził już w szkole podstawowej po wprowadzeniu wzorów skróconego mnożenia i pozycyjnego zapisu liczby jednak nie wpadłem jakoś na pomysł aby zastosować te tematy do wyprowadzenia sposobu pisemnego Nauczycielka pokazała mi go dopiero przy rozwiązywaniu równań kwadratowych Mając sposób na wyciąganie pierwiastków kwadratowych łatwo uogólniłem go na pierwiastki trzeciego stopnia (tego prosty kalkulator już nie potrafi) Z równaniem kwadratowym natomiast najpierw spotkałem się na fizyce (czas w ruch przyspieszonym) zanim było wprowadzone na matematyce