Udowodnić, że suma 1+ 2×2 + 3×2^2 + 4x2^3 +...+ 34×2^33 jest równa 33x2^34 +1 Paula: Udowodnić, że suma 1+ 2×2 + 3×2² + 4x2³ +...+ 34×2³3 jest równa 33x2³4 +1 Nie mam pojęcia jak to zrobić, dlatego bardzo proszę o dokładne rozwiązanie :')

Paula: Jak coś to tam jest potęga do 33 i do 34

Mila: 1+ 2*2 + 3*2² + 4*2³ +...+ 34*2³³= 33*2³⁴ +1 S=1+ 2*2 + 3*2² + 4*2³ +...+33*2³²+ 34*2³³ /*2 2S=2+2*2²+3*2³+4*2⁴+.....+33*2³³+34*2³⁴ odejmuję stronami: 2S−S −S=(1+ 2*2 + 3*2² + 4*2³ +5*2⁴...+33*2³²+ 34*2³³) −(2+ 2*2²+3*2³+4*2⁴+.......................+33*2³³+34*2³⁴)= =3+(2²+2³+2⁴+........+2³³)−34*2³⁴ Suma z nawiasu: a₁=2², q=2, n=32

	1−232
s32=22*		=22*(232−1)=234−4
	1−2

−S=3+2³⁴−4−34*2³⁴ S=34*2³⁴−2³⁴+1 S=2³⁴*(34−1)+1=33*2³⁴+1⇔L=P =========================

Mila: Powinno być − odejmuję stronami: S−2S:

Mariusz: ∑_i=0ⁿ(i+1)2ⁱ=n 2ⁿ⁺¹ + 1 Dla n=0 (0+1) 2⁰ =0 2¹ + 1 1 = 1 Dla n = k ∑_i=0^k(i+1)2ⁱ=k 2^k+1 + 1 Dla n = k+1 ∑_i=0^k+1(i+1)2ⁱ=(k+1)2^k+2+1 ∑_i=0^k(i+1)2ⁱ+(k+2)2^k+1 = (k+1)2^k+2+1 k 2^k+1 + 1 + (k+2)2^k+1 = (k+1)2^k+2+1 (2k+2)2^k+1 = (2k+2)2^k+1 + 1 A samą sumę można dostać sumując przez części

Mariusz: W ostatniej linijce oczywiście (2k+2)2^k+1 + 1 = (2k+2)2^k+1 + 1

Paula: ∑i co to za oznaczenie?

ICSP:

	1 − x35
f(x) = 1 + x + x2 + x3 + ... + x34 =
	1 − x

	34x35 − 35x34 + 1
f'(x) = 1 + 2x + 3x2 + ... 34 x33 =
	(1 − x)2

S = f'(2) = 2³⁴[ 68 − 35 ] + 1

Mariusz: ∑ to znak sumy a to co pokazałem to się nazywa indukcja

Mariusz: Tak jak napisałem wcześniej sumę można obliczyć przez części Δf(x)=f(x+1)−f(x) Δ(2^x+1)=2^x+2−2^x+1 Δ(2^x+1)=2^x+1(2−1) ∑Δ(2^x+1)δx=∑2^x+1δx ∑2^x+1δx=2^x+1 ∑f(x)Δg(x)δx=f(x)g(x)−∑Δf(x)g(x+1)δx ∑(x+1)2^xδx=(x+1)2^x−∑2^x+1δx ∑(x+1)2^xδx=(x+1)2^x−2^x+1 ∑_k=0ⁿ=∑₀ⁿ⁺¹(x+1)2^xδx =((n+2)2ⁿ⁺¹−2ⁿ⁺²)−((0+1)2⁰−2¹) (n+2)2ⁿ⁺¹−2 2ⁿ⁺¹−(1−2) (n+2−2)2ⁿ⁺¹−(−1) n 2ⁿ⁺¹ + 1 Co w połączeniu z moim wpisem z indukcją daje kompletny dowód Wpis z indukcją jest z godziny 4 mar 2019 02:38 Pokazałem nawet nieco więcej niż oni chcieli w tym zadaniu