algebra Misiek: Witam mam zadanko do rozważenia: Niech G będzie grupą skończoną, weźmy x∊G. 1)Udowodnić że ∃_m,n m≠n, xⁿ=x^m. 2) Niech n=min{m∊ℕ, x^m=e} to liczba m jest rzędem elementu x ozn. m=|x| 3) Udowodnić, że ∀_x∊G |x| | |G| Proszę o jakąś pomoc wytłumaczenie tego

Misiek: 1) czy w tym podpunkcie wystarczy wziąć liczbę n która jest wielokrotnością liczby m. To przy sensownym zapisie skończy dowód?

Adam: 1) 1, x, x², ... Byłyby wszystkie różne, sprzeczność z tym że G jest skończona 3) {x^m : m∊Z } jest podgrupą G Z tw. Lagrange'a, rząd tej grupy dzieli rząd G A ta grupa ma tyle samo elementów co rząd x

Misiek: Adam a jeśli weźmiemy grupę (Z₆,○ ), gdzie ○ to mnożenie modulo 3. Jeśli teraz weźmiemy dowolny x to prawdą jest, że dla n=3 i m=6 x^m=xⁿ, i m≠n. A z twój dowód twierdzi, iż taka własność nie zachodzi

Adam: Przykład √2 jest niewymierne Załóżmy że √2 jest wymierne. Czyli √2 = p/q dla p, q całkowitych, p, q − względnie pierwsze Czyli 2q² = p² Stąd 2|p. Zatem p = 2k, k całkowite q² = 2k² Stąd 2|q. Zatem p i q nie są względnie pierwsze. Otrzymana sprzeczność dowodzi że √2 jest niewymierne

Misiek: Co to ma do mojego pytania?