Ciągłość student: Jaka jest różnica między ciągłością a jednostajna ciągłością?

PW: dla każdego ε > 0 istnieje taka δ > 0 (jedna uniwersalna δ dla całej dziedziny), że dla wszelkich x, y należących do dziedziny zachodzi nierówność | f(y) − f(x) | < ε o ile tylko | y − x | < δ. Pry zwykłej ciągłości dla każdego punktu x₀ |f(x)−f(x₀)| < ε, o ile |x−x₀| < δ, przy czym δ jest dobierana w zależności od punktu x₀.

b.: Warto też zapoznać się dobrze z jakimś przykładem funkcji ciągłej, ale nie jednostajnie ciągłej. Np. f(x)=x² na R = (−∞,∞) jest ciągła, ale nie jednostajnie. Ale dla dowolnego A>0, f(x)=x² jest ciągła jednostajnie na [−A,A].

Adamm: ciągłość jednostajna jest 'globalnie', ciągłość jest 'lokalnie', to jest w punkcie

Mariusz: PW wygląda podobnie do granicy Cauchyego

Adamm: @Mariusz dobrze zauważyłeś Istnieją tkzw. homeomorfizmy jednostajne, one zachowują również zupełność