Wredna granica Jan: pilne lim x−>0 z (x−sinx)/(x² * tgx) Nie umiem tego ruszyc w zaden sposob

naszybko: sprobuj lopitalem

Jan: Próbowałem. Jak dla mnie dochodze do martwego punktu

Jerzy:

	x		sin2x		1
= limx→0		− limx→0		= [		*1 − 1*1*1] = ∞
	x2tgx		x2cosx		x2

Jan:

	1
Jerzy, wolfram wypluwa wynik
	6

ICSP:

x − sinx		1 − cosx
	=H		=H
x2 sinx		2xsinx + x2cosx

	sinx
=		=H
	2sinx + 2xcosx + 2xcosx − x2sinx

	cosx		1
=		→
	6cosx − 2xsinx − 2xsinx − x2cosx		6

Jola: Dziekuje Czyli jednak Hospital

Jerzy: @ICSP .....może mnie zaćmiło, ale co się stało z tgx ?

ICSP:

	sinx
tg(x) =
	cosx

Zamiast badać

x − sinx
x2tgx

badam

x − sinx
x2 sinx

bo i tak powyzsze wyrażenie w otoczeniu 0 zachowują się tak samo.

Jerzy: OK. Na to nie wpadłem.

Mariusz: "Czyli jednak Hospital" Można bez Hospitala

	x−sin(x)
lim x−>0
	x2tg(x)

	(x−sin(x))x
lim x−>0
	x3tg(x)

	x−sin(x)	x
lim x−>0
	x3	tg(x)

	x−sin(x)		x
lim x−>0		lim x−>0
	x3		tg(x)

	x−sin(x)
lim x−>0
	x3

Niech t=3x

	3t−sin(3t)
lim t−>0
	27t3

sin(3t)=sin(t)cos(2t)+cos(t)sin(2t) sin(2t)=sin(t)cos(t)+cos(t)sin(t)=2sin(t)cos(t) cos(2t)=cos(t)cos(t)−sin(t)sin(t)=cos²(t)−sin²(t) cos(2t)=1−2sin²(t) sin(3t)=sin(t)(1−2sin²(t))+cos(t)2sin(t)cos(t) sin(3t)=sin(t)(1−2sin²(t))+2sin(t)(1−sin²(t)) sin(3t)=sin(t)−2sin³(t)+2sin(t)−2sin(t) sin(3t)=3sin(t)−4sin³(t)

	x−sin(x)
Niech lim x−>0		= G
	x3

	3t−(3sin(t)−4sin3(t))
lim t−>0
	27t3

	3t−3sin(t)		4		sin3(t)
lim t−>0		+		lim t−>0
	27t3		27		t3

1		t−sin(t)		4		sin3(t)
	lim t−>0		+		lim t−>0
9		t3		27		t3

Mamy równanie

	1		4
G =		G+
	9		27

8		4
	G=
9		27

	4	9
G=
	27	8

	1	1
G=
	2	3

	1
G=
	6