Policz pochodną z funkcji 123: f(x) =x(x+1)(x+2)...(x+2019) f'(0)= Interesuje nas f'(0) (w miejscu kropek znajdują się kolejne liczby całkowite aż do 2019) Przypuszczalny wynik to silnia 2019, f(0)=lim2019!, proszę o weryfikację

ICSP: f(x) = x(x+1)(x+2) f'(x) = (x+1)(x+2) + x(x+2) + x(x+1) Jak widzisz w każdym kolejnym składniku występuje x. Wystarczy przenieść powyższe rozumowanie na większą liczbę nawiasów f'(0) = 2019!

PW: Prościej będzie skorzystać z wzoru na pochodną iloczynu. Przy odpowiednim oznaczeniu f(x) = xg(x) f'(x) = x'g(x) + xg'(x) f'(x) = g(x) + xg'(x) f'(0) = g(0) f'(0) = 1•2•3•...•2019 = 2019!

Adamm: ze wzoru Taylora f(x) = f(0)+f'(0)x+... stąd od razu f'(0) = 2019!

Mariusz: Wiemy że ten iloczyn możemy zapisać w postaci

Γ(x+2020)
Γ(x)

	Γ'(x+2020)Γ(x)−Γ'(x)Γ(x+2020)
=
	Γ2(x)

Przy czym jeśli chcemy później wstawiać zero to może lepiej zapisać funkcję w postaci

	Γ(x+2020)
f(x)=x
	Γ(x+1)