matematykaszkolna.pl
??? student: 1. Dla jakich liczb pierwszych (bez 2) p liczba 6 jest resztą kwadratową modulo po?
 6 p2−1 p 
Zacząłem, że (

) = 1. Ostatecznie mam postać: (−1)[

] * (

) = 1. Ułamek
 p 8 3 
z 8 w mianowniku to potęga −1. Co dalej? 2. Rozwiąż równanie, gdzie x,y należą do N. 2x3+xy−7=0 2x3+xy=7 x(2x2+y)=7 A więc są dwie możliwości, iloczyn 1*7 lub 7*1. Ostatecznie wychodzi, że x=1, y=5. Zgadza się?
24 lut 17:49
konrad: 2. ok
24 lut 17:59
student: A ktoś ma pomysł na pierwsze?
24 lut 21:00
student: W tym 1. chodzi o symbol Lagrange
24 lut 21:09
Adamm: p=3 lub
 6 2 3 
(

) = (

)(

)
 p p p 
 2 p 
(

) = (

)(−1)(p−1)/4
 p 2 
 p 
ale (

) = 1
 2 
 2 
więc (

) = (−1)(p−1)/4
 p 
 3 p 
(

) = (

)(−1)(p−1)/2
 p 3 
 p 
(

) = 1 dla p ≡ 1 (mod 3)
 3 
 p 
(

) = −1 dla p ≡ 2 (mod 3)
 3 
więc
 3 
(

) = (−1)(p−1)/2 dla p ≡ 1 (mod 3)
 p 
 3 
(

) = (−1)(p+1)/2 dla p ≡ 2 (mod 3)
 p 
 6 
(

) = (−1)3(p−1)/4 = (−1)(p−1)/4 dla p ≡ 1 (mod 3)
 p 
 6 
(

) = (−1)(p+3)/4 dla p ≡ 2 (mod 3)
 p 
czyli musi być p ≡ 1 (mod 3), p ≡ 1 (mod 8) lub p ≡ 2 (mod 3), p ≡ 5 (mod 8) oczywiście nie gwarantuje nam to jakie dokładnie to są liczby...
24 lut 21:36
Adamm: 3, 5, 29, 53, 73, 97 to reszty dla liczb pierwszych mniejszych od 100
24 lut 21:42
Adamm: Zauważ że z tw. Dirichleta takich liczb pierwszych istnieje nieskończenie wiele
24 lut 21:54