???
student: 1. Dla jakich liczb pierwszych (bez 2) p liczba 6 jest resztą kwadratową modulo po?
| 6 | | p2−1 | | p | |
Zacząłem, że ( |
| ) = 1. Ostatecznie mam postać: (−1)[ |
| ] * ( |
| ) = 1. Ułamek |
| p | | 8 | | 3 | |
z 8 w mianowniku to potęga −1. Co dalej?
2. Rozwiąż równanie, gdzie x,y należą do N.
2x
3+xy−7=0
2x
3+xy=7
x(2x
2+y)=7
A więc są dwie możliwości, iloczyn 1*7 lub 7*1. Ostatecznie wychodzi, że x=1, y=5. Zgadza się?
24 lut 17:49
konrad: 2. ok
24 lut 17:59
student: A ktoś ma pomysł na pierwsze?
24 lut 21:00
student: W tym 1. chodzi o symbol Lagrange
24 lut 21:09
Adamm:
p=3 lub
| 2 | | p | |
( |
| ) = ( |
| )(−1)(p−1)/4 |
| p | | 2 | |
| 2 | |
więc ( |
| ) = (−1)(p−1)/4 |
| p | |
| 3 | | p | |
( |
| ) = ( |
| )(−1)(p−1)/2 |
| p | | 3 | |
| p | |
( |
| ) = 1 dla p ≡ 1 (mod 3) |
| 3 | |
| p | |
( |
| ) = −1 dla p ≡ 2 (mod 3) |
| 3 | |
więc
| 3 | |
( |
| ) = (−1)(p−1)/2 dla p ≡ 1 (mod 3) |
| p | |
| 3 | |
( |
| ) = (−1)(p+1)/2 dla p ≡ 2 (mod 3) |
| p | |
| 6 | |
( |
| ) = (−1)3(p−1)/4 = (−1)(p−1)/4 dla p ≡ 1 (mod 3) |
| p | |
| 6 | |
( |
| ) = (−1)(p+3)/4 dla p ≡ 2 (mod 3) |
| p | |
czyli musi być p ≡ 1 (mod 3), p ≡ 1 (mod 8) lub p ≡ 2 (mod 3), p ≡ 5 (mod 8)
oczywiście nie gwarantuje nam to jakie dokładnie to są liczby...
24 lut 21:36
Adamm:
3, 5, 29, 53, 73, 97 to reszty dla liczb pierwszych mniejszych od 100
24 lut 21:42
Adamm:
Zauważ że z tw. Dirichleta takich liczb pierwszych istnieje nieskończenie wiele
24 lut 21:54