liczby zespolone h: Naszkicować na płaszczyźnie zespolnej zbiór: {z∊ℂ: 0≤arg((1−i)z²)≤π} czy mogłby ktoś mi wytłumaczyć co mam zrobić jak przysłowiowej krowie na rowie? wiem mniej więcej co robić jak mam np 0 ≤ z ≤π ale przy bardziej skomplikowanych liczbach się gubię

a: https://pl.wikipedia.org/wiki/Argument_liczby_zespolonej Nie wiem czy to tak, ale chyba cos w ten desen z = x+iy (1−i)*z² = (1−i)*(x+iy) = x + iy − ix −i²y = x + i(y−x) − y = x − y + i(y−x) wiec naszym a = x−y naomiast b = y−x dla a > 0 tzn. x−y>0 −−> y<x (taka prosta)

	x−y
0 ≤ arctg(		) ≤ π //(zalozenie y−x ≠0 czyli y≠x)
	y−x

najpierw

	x−y
0 ≤ arctg(		) //z definicji arctg(p) = q ⇔ tg (q) = p
	y−x

ile wynosi tangens(0) ? −−− zero

x−y
	≥ 0 //*(y−x) (bo wiemy ze x−y>0 zatem y−x <0 czyli zmieniam znak≠)
y−x

x−y ≤ 0 (co jest speczne bo x−y>0) teraz to

	x−y
arctg(		) ≤ π
	y−x

ile wynosi tangens(pi) ? −−> zero zatem

x−y
	≤ tg(pi)
y−x

x−y
	≤ 0 //mnoze razy y−x (bo wiem, ze x−y>0 wiec y−x < 0)
y−x

x−y ≥ 0 (dochodzi zalozenie ze x−y > 0) wiec mamy obszar do zaznaczenia y < x −−−− teraz dla a < 0, tzn. x−y < 0 −−> y > x

	x−y
0 ≤ arctg(		)
	y−x

ile wynosi tangens 0 ? −> 0

x−y
	≥ 0 /*(y−x) //moge bo x−y<0 czyli y−x>0 − nie zmieniam znaku
y−x

x−y ≥ 0 (ale mamy zalozenie x−y<0) wiec sprzecznosc

	x−y
i teraz arctg(		) ≤ π
	y−x

i tak samo jak wczesniej... i na koncu dla a = 0 (patrz wikipedia)

PW:

	π
arg(1−i) = −		(wystarczy narysować na płaszczyźnie zespolonej).
	4

Mnożąc liczby zespolone dodajemy argumenty (twierdzenie): arg(z₁z₂) = arg(z₁)+arg(z₂), w tym wypadku arg(z²) = 2arg(z) oraz

	π
arg((1−i)z2) = −		+2arg(z).
	4

Mamy więc zilustrować nierówność

	π
−		+2arg(z) < π
	4

	5π
2arg(z) <
	4

	5π
arg(z) <
	8

Pytający: Lepiej nie liczyć dla argumentu głównego, bo niektóre rozwiązania mogą "zniknąć". 2kπ≤arg((1−i)z²)≤π+2kπ

π		5π
	+2kπ≤arg(z2)≤		+2kπ
4		4

π		5π
	+kπ≤arg(z)≤		+kπ
8		8

PW: Cały czas miałem wrażenie, że coś za łatwo poszło. Dziękuję za poprawkę

h: dziękuję pięknie!