suma rawik: Oblicz cos²(x) + co²(2x) + cos²(3x) + :: + cos²(nx)

Mariusz:

1
	(∑k=1n1+∑k=1ncos(2kx))
2

1		1
	n+		(∑k=1ncos(k(2x)))
2		2

1		1	cos(nx)sin((n+1)x)
	n+
2		2	sin(x)

Mariusz: A zdaje się że wziąłem z tablicy sumę od zera i powinno być

1		1	cos(nx)sin((n+1)x)
	(n−1)+
2		2	sin(x)

rawik: Zupełnie nie wiem jak to policzyłes

Mariusz: Wzór na sumę ∑_k=0ⁿcos(kx) wziąłem z tablic Przed chwilą przejrzałem zeszyt ze szkoły średniej i okazuje się że miałem tam do udowodnienia indukcyjnego wzór na sumę sinusów Wzór na sumę sinusów też by tobie wystarczył bo wystarczyłoby cosinusy zamienić na sinusy ze wzoru redukcyjnego

	π
cos(x)=sin(		−x)
	2

Trochę zabawy byłoby wtedy z upraszczaniem tego wzorku Pozbyłem się kwadratów korzystając ze wzorku 1=cos²(x)+sin²(x) cos(2x)=cos²(x)−sin²(x) 2cos²(x)=1+cos(2x)

	1
cos2(x)=		(1+cos(2x))
	2

Mariusz: Niech A_n=∑_k=0ⁿcos(kx) B_n=∑_k=0ⁿsin(kx) Zaburzaniem sum można dostać taki układ równań cos((n+1)x)=1+(cos(x)−1)A_n−sin(x)B_n sin((n+1)x)=(cos(x)−1)B_n+sin(x)A_n

Mariusz: A_n=∑_k=0ⁿcos(kx) B_n=∑_k=0ⁿsin(kx) A_n+cos((n+1)x)=1+∑_k=0ⁿcos((k+1)x) B_n+sin((n+1)x)=0+∑_k=0ⁿsin((k+1)x) A_n+cos((n+1)x)=1+∑_k=0ⁿcos(kx)cos(x)−sin(kx)sin(x) B_n+sin((n+1)x)=0+∑_k=0ⁿsin(kx)cos(x)+cos(kx)sin(x) A_n+cos((n+1)x)=1+cos(x)(∑_k=0ⁿcos(kx))−sin(x)(∑_k=0ⁿsin(kx)) B_n+sin((n+1)x)=cos(x)(∑_k=0ⁿsin(kx))+sin(x)(∑_k=0ⁿcos(kx)) A_n+cos((n+1)x)=1+cos(x)A_n−sin(x)B_n B_n+sin((n+1)x)=cos(x)B_n+sin(x)A_n cos((n+1)x)−1=(cos(x)−1)A_n−sin(x)B_n sin((n+1)x)=(cos(x)−1)B_n+sin(x)A_n (cos(x)−1)A_n − sin(x)B_n = cos((n+1)x)−1 sin(x)A_n + (cos(x)−1)B_n = sin((n+1)x) Jest to układ dwóch równań liniowych bo A_n oraz B_n występują w pierwszej potędze Możesz go rozwiązać metodą podstawiania , eliminacji , wyznacznikową Cramera, mnożąc lewostronnie przez macierz odwrotną , znajdując jakiś rozkład macierzy np LU Aby uprościć otrzymany wzór korzystasz z cos(A+B)=cos(A)cos(B) − sin(A)sin(B) cos(A−B)=cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B) sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B) sin(A−B)=sin(A)cos(B)−cos(A)sin(B)

Mariusz: Funkcję tworzącą można otrzymać postępując w podobny sposób jak dla wielomianów Czebyszowa a następnie należałoby skorzystać z funkcji tworzącej ciągu sum częściowych (szczególny przypadek splotu) Mając funkcję tworzącą wystarczy znaleźć wzór na n. wyraz Jednym ze sposobów jest n krotne różniczkowanie