wielomiany Karol: Udowodnij, że jeżeli wielomian W(x) = x³ + px + q ma trzy różne pierwiastki, to p jest liczbą ujemną zrobiłem tak w(x)= (x−a)(x−b)(x−c) W(x) = x³ −(a+b+c)x²+(ab+bc+ac)x−abc zatem (1) a+b+c= 0 i (2) ab+bc+ac=p i (3) abc= −q aby warunek (1) i (2) był spełniony dwa rozwiązania muszą być dodatnie, a jedno ujemne, np, a,b>0 i c<0, oraz c>a+b zatem ab+bc+ac < 0 czyli p<0 czy takie rozwiązanie i rozumowanie jest poprawne?

Karol: 3 linijka od dołu *** c=a+b

Karol: *c=−(a+b) w końcu dobrze

ABC: jeżeli wielomian x³+px+q ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste to nie może być funkcją ściśle rosnącą, a jego pochodna wynosi 3x²+p , więc gdyby p≥0 to pochodna ma stały znak i sprzeczność

Karol: o, ciekawe spojrzenie a moje jest poprawne?

ABC: do momentu gdy piszesz warunki (1) (2) (3) jest ok, ale potem coś podejrzane

PW: Dowód mógłby przebiegać następująco: Równość a+b+c=0 mnożymy kolejno przez a, b oraz c: ab+b²+bc=0 ac+bc+c²=0 a²+ab+ac=0 a następnie dodajemy stronami te trzy równości uzyskując 2ab+2bc+2ac + (a²+b²+c²) = 0 2(ab+bc+ac) = − (a²+b²+c²) Prawa strona ujemna, więc i lewa ujemna.

ABC: PW dobrze gada a tak w ogóle warunkiem równoważnym na 3 różne pierwiastki rzeczywiste jest:

	4
q2+		p3<0
	27

( p<0 jest tylko warunkiem koniecznym)