potegi matma: Pytanie testowe (−2)^6/2= a) 8 b)−8

konrad: no i? w czym problem? ile to 6/2

matma: no 3

ABC: to jest zadanie−pułapka na liczenie typu: (−2)^6/2=√(−2)⁶=√64=8

matma: A czemu nie (−2)³=−8 ?

ABC: a gdyby ci nauczyciel pokazał tak jak ja napisałem, umiałbyś powiedzieć w którym miejscu jest błąd?

konrad: @matma chodzi właśnie o to, że to jest −8

matma: ABC a w którym miejscu jest bład u ciebie?

Mariusz: ABC czyli już masz odpowiedź na pytanie zadane przez ciebie we wpisie z 18 lut 2019 17:40

matma: No skoro sam zadaje czy umiem wyjasnic

ABC: Mariusz takie badania robię na obecnym pokoleniu uczniów

matma: A jaki jest u ciebie bład w tym rozwiązaniu z 17:28?

Mariusz: A jaką przyjmujemy definicję pierwiastka ? Jest więcej niż jedna

matma: O jaka definicje chodzi

ABC: A teraz jeszcze inne rozwiązanie − w świetle tego co w szkole mówi hasło " potęga o wykładniku wymiernym" , to napis (−2)^6/2 w ogóle nie ma sensu bo tam są określenia dla liczb nieujemnych. I co ty na to matma?

matma: Ale co wykładni nie jest wymierny?

matma: Ale co wykładni nie jest wymierny?

ABC: dobra chciałem wiedzieć czy polska szkoła zabiła myślenie i wiem

matma: No to czemu rozwiązaniem nie może być 8?

janek191: ( − 2)^6/2 = (−2)³ = −2*(−2)*(−2) = − 8

matma: A czemu nie to rozwiązanie ABC jest błędne? →

ABC: Janek,może ty mi dopowiesz na jakiej podstawie mamy prawo napisać (−2)^6/2=(−2)³ ? Chociaż zdaje się nie jesteś uczniem

janek191: 6 : 2 = 3 − wykonujemy dzielenie

ABC: dobra ale na początku mamy liczbę ujemną podniesioną do potęgi wymiernej ?

matma: Ale to wiem że 6/3 ale czemu rozwiązanie ABC jest błędne?

matma: A co nie możemy podnosić liczby ujemnej do potęgi wymierne?

b.: bo wzór (a^b)^c = a^bc nie jest (na ogół) prawdziwy dla a<0

matma: Jak to na ogół?

b.: znaczy nie jest ogólnie prawdziwy, ale może się zdarzyć, że jest nawet dla a<0 i pewnych b,c

matma: No to na chybił trafił?

b.: co na chybił trafił?

matma: No to już nie rozumiem

b.: ok, to inaczej napiszę: nie jest prawdą, że dla dowolnych a<0, b>0, c>0 zachodzi (a^b)^c = a^bc

ABC: się temat rozrósł ładnie matma praktyczna rada: to zadanie ma drugie dno, ale udawaj że go nie dostrzegasz i podawaj odpowiedź −8, raczej taki będzie klucz odpowiedzi

Jerzy: (−2)³ = −8

matma: No a czemu ABC twoje rozwiązanie jest błędne bo w tym tkwi problem niestety ze ja napisałem 8

ABC: Jerzy a ja powiem tak , przy potęgowaniu zespolonym (−2)³=−8 , (−2)^6/2={−8,8} i nie ma równości

b.: @ABC, tu się z Toba nie zgodzę, kolejność wykonywania działań jest taka: a^cokolwiek = a^(cokolwiek), czyli (−2)^6/2 = (−2)³, a to jest raczej jednoznacznie określone jako −8

Mila: a taki przykład dla matmy √(−2)²

matma: Miła to będzie 2

ABC: matma ale to jest przecież [(−2)²]^1/2 ? czyli (−2)^2*(1/2) a więc (−2)¹ ? widzisz że z tym potęgowaniem liczb ujemnych to trzeba ostrożnie

Mila: Potęga o wykładniku wymiernym− definicje Definicja 1 Dla nieujemnej liczby a oraz liczb naturalnych m i n określamy: a^m_n=(a^1_n)^m=ⁿ√a^m Definicja 2 Dla dodatniej liczby a oraz liczb naturalnych m i n określamy:

	1
a−mn=(a1n)−m=
	n√am

ABC: Mila i dlatego uważam że takie zadanie zwłaszcza w dzisiejszej szkole średniej to pomyłka albo nie ma definicji dla tego przypadku ( przy takim ujęciu jak Twoje)

	6
albo gdy dopuścimy liczby zespolone to ponieważ ułamek		nie jest nieskracalny mamy inne
	2

problemy

Mila: Wiele się zmieniło w dzisiejszej szkole . Cieszę się, że już nie pracuję

Jerzy: Ja też Ale to był lepszy program , jak dzisiaj. Zaczynało się od logiki,a to podstawa matematyki.

b.: Dla dowolnych a oraz całkowitych dodatnich n: aⁿ = a*a*...*a (n czynników, formalna definicja przez indukcję) a⁻ⁿ = 1/aⁿ (to dla a≠0). Nie ma żadnego problemu z (−2)^6/2, jeśli −2 uważać za liczbę zespoloną. To jest (−2)³, a to −8, nie żadne 8.

ABC: no dobra a to ile jest w liczbach zespolonych: √(−2)⁶ ?

b.: ale jaki to ma związek z (−2)^6/2? Wzór a^bc=(a^b)^c nie zachodzi dla a<0.

mat: tylko czy zapis √(−2)⁶ nie oznaczałby ((−2)⁶)^1/2?

b.: oznaczałby, ale to nie to samo, co (−2)³, bo jak już pisałem, wzór a^bc=(a^b)^c nie zachodzi

b.: albo z innej strony, gdyby (−2)³ to miałoby być ((−2)⁶)^1/2, to powinno to też być ((−2)⁹)^1/3 itd.

mat: no tak, o tym mowie

matma: Tyle pisania a i tak w końcu nie wiem co i jak

Adamm: (−2)^6/2 = (−2)³ = −8 i tyle

szybkiepytanie: nie dowiesz sie bo @ABC i inni musza sie popisac swoja watpliwa studyjna wiedza

iteRacj@: @szybkiepytanie Jest fatalnie: trafiasz na osoby niewystarczająco utytułowne, zbyt mało (a nawet wątlipwie) wykształcone i jeszcze się nie śpieszące do rozwiązywania cudzych zadań. Masz prawo do niezadowolenia !

grzest: (−2)^6/2=√(−2)⁶=√64=8. Wyjaśnienie, kiedy można skrócić ułamek w potędze dwójki podane jest na stronie: https://matfiz24.pl/pierwiastki/pierwiastek-z-potegi Przyjęto po prostu taką umowę aby pozbyć się niejednoznaczności.

Mateusz wajchę przełóż: czyli tutaj rozumiem zakłada się że (−2)^6/2=((−2)⁶)^1/2=8 ale według tego wzoru (−2)^9/3=((−2)⁹)^1/3=−8 i z jednej niejednoznaczności wpadamy w drugą (−2)^6/2≠(−2)^9/3

grzest: @Mateusz wajchę przełóż: Oczywiście, że (−2)^6/2≠(−2)^9/3. Przeczytaj jeszcze raz podaną stronę ze zrozumieniem. Masz tam napisane: "Z pierwiastkami stopnia nieparzystego potęgi jest znacznie prościej, bo podstawa pierwiastka jak i wynik mogą być liczbami dodatnimi i ujemnymi." Ponieważ ³√x³=x, x ∊R dla x=−2 mamy ³√(−2)³=−2. Natomiast √x²=|x|, x ∊R dla x=−2 mamy √(−2)²=2. Nikt nie zapewnia tutaj równości tych wyrażeń.

Mateusz wajchę przełóż: no tak, ale przy takim ujęciu mamy dla funkcji (−2)^x dwie różne wartości dla x=3, no chyba że zakładamy,

	6		9
że 3≠6/2 i 3≠9/3 , albo		≠		, albo (−2)x przestajemy uważać za funkcję? jak to
	2		3

jest?

wredulus_pospolitus: @grzest wskaż miejsce w którym napisane jest, że (a)^m/n = ⁿ√(a)^m dla dowolnego a<0 ; m,n≠0 albo jak wolisz. Jaka jest dziedzina: f(x) = x^3/2 f(x) = √x³

grzest: @Mateusz wajchę przełóż: Zauważ, że funkcję wykładniczą określamy tylko dla podstaw dodatnich. https://www.matemaks.pl/funkcja-wykladnicza.html

wredulus_pospolitus: albo jeżeli dla Ciebie prawdą jest: a^m*n = (a^m)ⁿ dla wolnego a,m,n to w powyższym przypadku mamy: (−2)^6/2 = ((−2)⁶)^1/2 = ((−2)^1/2)⁶ = ... ile

Mateusz wajchę przełóż: grzest tylko to jest dla mnie strasznie nieintuicyjne że 2^6/2≠2^9/3, w moim liceum jeden z matematyków prowadzi też zajęcia na uczelni, zapytam co on o tym myśli

Mateusz wajchę przełóż: (−2) tam oczywiście miało być

wredulus_pospolitus: 8 = 64^1/2 =((−2)⁶)^1/2 =(−2)^6/2 =((−2)^1/2)⁶ =(√−2)⁶ =(i√2)⁶ =8*(−1)³ = −8 czyli 8 = −8 ... jupi

wredulus_pospolitus: natomiast na poziomie szkoły średnie wychodzi 8 = 'nie wiadomo co'

grzest: @wredulus_pospolitus: 20 lut 12:09 Miejsce to wskazałem we wpisie z 20 lut 10:50. Przeczytaj to ze zrozumieniem i nie wypisuj już głupot na ten temat. Ze swojej strony kończę już dyskusję.

wredulus_pospolitus: ale jakie głupoty wypisuję? skoro używasz a^m*n = (a^m)ⁿ to powiedz dlaczego (aⁿ)^m ≠ (a^m)ⁿ albo wskaż mi miejsce w którym jest podane, że a^mn = (a^m)ⁿ ale już a^mn ≠ (aⁿ)^m

wredulus_pospolitus: a w linku który podesłałeś, wszelkie działania są wykonywane w momencie w którym PIERWOTNA postać jest zapisana jako ⁿ√a^m co już nakłada na nas założenia co do 'm' i 'n' gdy a<0

wredulus_pospolitus: to tak samo jakbyś się spierał, że

	x2
f(x) =		ma dziedzinę x∊R
	x

i podał stronę na której piszą o funkcji f(x) = x i podają, że jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych

Mateusz wajchę przełóż: Miałem przerwę w szkole i porozmawiałem z tym nauczycielem, on twierdzi że Prawdą jest że ((−2)⁶)^1/2≠((−2)⁹)^1/3 po obu stronach równości mamy zbiory, jeden z nich jest dwuelementowy a drugi trzyelementowy , ale liczb zespolonych trzeba do pokazania tego Ale mówił też, że (−2)^6/2 nie jest równe ani jednemu ani drugiemu zbiorowi, tłumaczenia nie zrozumiałem było coś o eksponencie i logarytmie zespolonym

grzest: @Mateusz wajchę przełóż: Twój nauczyciel ma oczywiście rację. Obliczając (−2)^6/2 w zbiorze liczb zespolonych otrzymujemy dwa wyniki: (−2)^6/2={−8,8}. Jak widać, są to dwie liczby rzeczywiste. Natomiast podobne obliczenia dla (−2)^9/3 dają: (−2)^9/3={−8,4+i4√3,4−i4√3}. W tym przypadku mamy jedną wartość rzeczywistą i dwie zespolone. W zbiorze liczb rzeczywistych zarówno potęga jak i pierwiastek z dowolnej liczby ma tylko jedną wartość. Musimy więc wybrać: (−2)^6/2=−8 lub (−2)^6/2= 8 w pierwszym przypadku, w drugim przypadku mamy tylko jeden wybór (−2)^9/3=−8. pozostałe dwa rozwiązania są zespolone, więc je odrzucamy. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że można przyjąć za wynik liczbę −8 w pierwszym jak i w drugim przypadku. Wtedy będziemy mieli równość (−2)^6/2=(−2)^9/3. Ale wtedy pojawia się inny problem. Możemy bowiem napisać (−2)^6/2=[(−2)^2/2]³=[√(−2)²]³=−8. Stąd wynika, że √(−2)²=−2. A takiego wyniku nie chcemy. Przyjęcie rozwiązania (−2)^6/2= 8 nie prowadzi do żadnych paradoksów. Zostało więc powszechnie przyjęte. (Jak widać z komentarzy niektórych forumowiczów, nie do wszystkich to dotarło). I jeszcze jedna uwaga końcowa: „skracać” ułamki w potędze można tylko gdy podstawa potęgowa jest liczbą rzeczywistą, dodatnią. Np. 2^6/2=2³=8, dla podstaw ujemnych ta zasada nie obowiązuje. Nie obowiązuje również dla liczb zezpolonych.

wredulus_pospolitus: grzest ... jak nie ma paradoksu przyjmując (−2)^6/2 skoro Ci go podałem a Ty (chyba celowo) starasz się go nie widzieć: 8 = ((−2)⁶)^1/2 = (−2)^6/2 = ((−2)^1/2)⁶ = 'nie wiadomo co' (patrząc tylko w zbiorze liczb rzeczywistych)

Adamm: Twój nauczyciel ma rację. Dla pierwiastków zespolonych (−2)^6/2 = (−2)³ = −8 ((−2)⁶)^1/2 = {8, −8}

	−1−√3i		−1+√3i
((−2)9)1/3 = {−8, −8*		, −8*		}
	2		2

i tyle, wielka mi filozofia Dla rzeczywistych (−2)^6/2 = −8 ((−2)⁶)^1/2 = 8 ((−2)⁹)^1/3 = −8

Adamm: A grzest myli (−2)^6/2 z ((−2)⁶)^1/2 czy też ((−2)⁹)^1/3 z (−2)^9/3 ... to nie jest to samo

wredulus_pospolitus: oczywiście że nie jest to samo i to też starałem się mu pokazać

Adamm: (−2)^6/2 = (−2)^9/3

ABC: Miałem się już tu nie wypowiadać ale nie wytrzymałem Grzest, otwórz sobie ten pdf: http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon14/mon1402.pdf paragraf 146, pierwsza definicja w świetle tego określenia musi zachodzić równość (−2)^6/2=(−2)^9/3 dałem ten odnośnik bo kto jak kto ale Wacław Sierpiński nie był idiotą

Adamm: Tylko teraz taka uwaga, przez pierwiastek zespolony stopnia n∊N z a rozumiemy zbiór {x∊C : xⁿ = a} I o to nam tutaj chodzi. Sierpiński mówi o tkzw. pierwiastku głównym, czyli o najmniejszym argumencie.

ABC: z^m=e^{m lgz} (−2)^6/2=e^{6/2 lg(−2)}=e^{3 lg (−2)} (−2)^9/3=e^{9/3 lg9−2)}=e^{3 lg(−2)} nie wnikam czym jest e^{3 lg(−2)} ale e^{3 lg(−2)}=e^{3 lg(−2)}

Adamm: @ABC a wiesz że 6/2 = 9/3, prawda?

ABC: wiem , bo 6*3=2*9 , są w tej samej klasie abstrakcji chyba że jak tu gdzieś wcześniej pisał ten Mateusz z liceum , przyjmujemy inną aksjomatykę ?

b.: przeraża mnie trochę ta dyskusja co za różnica, czy w wykładniku jest 3, czy 6/2, czy 9/3? To nie zmienia wartości potęgi (−2)³, która jest równa −8. I to niezależnie od tego, czy rozważamy R, czy C. W R: (−2)³ = (−2)*(−2)*(−2) = −8 (w zasadzie jedyna rozsądna definicja) w C może być np. definicja z logarytmem, i niezależnie od tego, jaką gałąź logarytmu się weźmie, wartość exp(3log(−2)) będzie taka sama i równa −8

grzest: @b: (Na początek dobra rada dla @b: Weź coś na uspokojenie, bo będziesz znowu przerażony ) cytuję: "co za różnica, czy w wykładniku jest 3, czy 6/2, czy 9/3? To nie zmienia wartości potęgi (−2)³, która jest równa −8." Nic bardziej mylnego. Przyjrzyjmy się nieco dokładniej na czym polega „skracanie” ułamka w wykładniku liczby rzeczywistej o podstawie ujemnej: (−2)^6/2=[(−2)^2/2]³=(−2)³=−8. Jak z powyższego wynika, skrócenie ułamka w wykładniku polega na (świadomym lub nieświadomym) założeniu, że prawdziwa jest równość: (−2)^2/2=−2. Ale czy równość ta jest prawdziwa w zbiorze liczb rzeczywistych? Już na pierwszy rzut oka widać, że (−2)^2/2=(√−2)² nie może być równe−2. Po pierwsze, dlatego że pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej w ciele liczb rzeczywistych nie istnieje. Po drugie, mamy przecież twierdzenie mówiące o tym, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną. Pytam się więc, na jakiej podstawie w równości (−2)^6/2=[(−2)^2/2]³=(−2)³=−8 zastąpiono coś co nie istnieje ((√−2)²) liczbą −2. Jest to niedopuszczalne! Udowodniłem więc, że (−2)^2/2=(√−2)²≠−2. A stąd wynika, (−2)^6/2≠[(−2)]³. Skracanie ułamka (przez liczbę parzystą) w wykładniku liczby rzeczywistej o podstawie ujemnej jest nieuprawnione i błędne. Parząc na liczbę (−2)^6/2 widać, że w zbiorze liczb rzeczywistych jedynym możliwym (wykonalnym) działaniem jest potęgowanie liczby (−2) a następnie pierwiastkowanie. Otrzymamy wtedy liczbę dodatnią, równą 8. Działanie w odwrotnej kolejności (najpierw pierwiastkowanie, potem potęgowanie) w liczbach rzeczywistych jest niewykonalne. To tyle.

wredulus_pospolitus: "Udowodniłem więc, że (−2)^2/2 = (√−2)² ≠ −2" Nie ... udowodniłeś co najwyżej, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie można zawsze i bezkarnie pisać: a^m*n = (a^m)ⁿ ... czyli DOKŁADNIE TO CO TY ZROBIŁEŚ aby wyszło Ci (−2)^6/2 = 8

ABC: Grzest 1) pokaż mi jakieś podręczniki (nie strony internetowe gdzie każdy może pisać co mu się podoba) na dowód tego że twoje rozwiązanie jest "powszechnie przyjęte" jak to napisałeś. 2)cytuję "Już na pierwszy rzut oka widać, że (−2)^2/2=(√−2)² ...." zakładasz że ta równość zachodzi, gdzie dowód na gruncie matematyki szkolnej? wyprowadź z aksjomatów i własności potęg że masz prawo tak zrobić

matma: Tyle tłumaczenia?!, a na teście trzeba było wybrać jedną z odpowiedzi hmm

matma: Zatem matma jak widać nie jest taka łatwa

ABC: mówiłem że to zadanie na test do szkoły średniej się nie nadaje

matma: Za trudne?

ABC: w pewnym sensie tak bo w szkole średniej uczeń jest przyzwyczajony że (a^b)^c=(a^c)^b=a^bc

matma: Ja go nawet pamietam z gimnazjum

ABC: no ,ale to wszystko działa gdy a>0