Metryka .: Znajdź punkty skupienia, wnętrze, domknięcie oraz brzeg zbioru U w przestrzeni kartezjańskiej R²

	1
U={ (−1)n,		) : n∊ℕ }
	n

... Każdy punkt a∊U nie jest punktem wewnętrznym a więc Wnętrze=∅ Każdy punkt a∊U nie jest punktem skupienia zbioru U Punkt (−1,0)∉U jest punktem skupienia zbioru U oraz punkt (1,0)∉U jest punktem skupienia zbioru U a więc Domknięcie=U ∪ {(−1,0), (1,0)} Każdy punkt a∊U jest punktem brzegowym oraz (−1,0)∉U ∧ (1,0)∉U są punktami brzegowymi a więc Brzeg=Domknięcie − Wnętrze Czy to rozwiązanie jest poprawne?

.: Ktokolwiek?

b.: Wyniki są poprawne, ale żeby pokazac, że domknięcie jest takie jakie jest, trzeba jeszcze pokazać, że nie ma innych punktów skupienia poza U oprócz tych dwóch znalezionych. Poza tym pisze się ,,żaden nie jest'', a nie ,,każdy nie jest''.

.: A jak pokazać, że nie ma innych punktów skupienia poza U? Przerobiliśmy bardzo mało przykładów z tego działu i mam problemy z rozwiązywaniem tego typu zadań

b.: Ja bym robił tak. U = A u B, gdzie A = {(−1, 1/(2k+1)), k=0,1,...}, a B to reszta. Teraz A jest zbiorem wartości ciągu a_k=(−1,1/(2k+1)) zbieżnego do (−1,0). Wobec tego domknięcie A to A u {lim a_k} (ogólny fakt, domknięcie takiego zbioru A to A plus zbiór punktów skupienia ciągu (a_k), ciąg zbiezny ma tylko jeden punkt skupienia, granicę). Podobnie dla B. No i na koniec domknięcie AuB to suma domknięć A i B.

b.: Chociaz można chyba też bardziej ,,na palcach'', pokazać z definicji, że żaden inny punkt nie jest punktem skupienia (np. łatwe, gdy współrzędna x jest różna od −1 i od 1).