Proszę o jakąś wskazówkę Polka : Ciąg a_n określony jest następująco a₁ = 1, a_n+1 = 2a_n + 1. Wyznacz wyrazy a₆, a₁₈, a₂₀₁₈. Wyznaczyłem wyraz 6 z rekurencji natomiast nie mam pojęcia jak zabrać się za resztę. Jakas sugestia ?

Mariusz: A(x)=∑_n=1^∞a_nxⁿ ∑_n=2a_nxⁿ=∑_n=22a_n−1xⁿ+∑_n=2xⁿ

	x2
∑n=2anxn=2x(∑n=2an−1xn−1)+
	1−x

	x2
∑n=1anxn−x=2x(∑n=2an−1xn−1)+
	1−x

	x−x2+x2
∑n=1anxn−2x(∑n=2an−1xn−1)=
	1−x

	x
(1−2x)A(x)=
	(1−x)

	x
A(x)=
	(1−2x)(1−x)

x		2Ax		Bx
	=		+
(1−2x)(1−x)		1−2x		1−x

x		2Ax(1−x)+Bx(1−2x)
	=
(1−2x)(1−x)		(1−2x)(1−x)

x=(2A+B)x+(−2A−2B)x² 2A+B=1 −2A−2B=0 −B=1 B=−1 A=1

	2x		x
A(x)=		−
	1−2x		1−x

∑_n=1^∞2ⁿxⁿ−∑_n=1^∞xⁿ a_n=2ⁿ−1

ABC: można też popatrzeć na kilka pierwszych wyrazów 1,3,7,15,31 ... sformułować hipotezę a_n=2ⁿ−1 i dowód indukcyjny a₁=2¹−1=2−1=1 jeśli a_n=2ⁿ−1 to a_n+1=2a_n+1=2(2ⁿ−1)+1=2ⁿ⁺¹−2+1=2ⁿ⁺¹−1

Polka : Dziękuję juz Rozumiem

Polka : Jednak nadal mam problem z tym a₂₀₁₈. Nie mogę przecież na kalkulatorze obliczyć tak dużej liczby. Proszę o pomoc

ABC: myślę że chodziło o to żebyś napisała 2²⁰¹⁸−1 ale gdyby ktoś był uparty 30 097 557 298 197 417 800 049 182 668 952 226 601 954 645 169 633 891 463 401 117 760 245 367 082 644 152 355 564 014 438 095 421 962 150 109 895 432 272 944 128 252 155 287 648 477 680 131 934 943 095 113 263 121 691 874 508 742 328 500 559 321 036 238 322 775 864 636 883 202 538 152 031 804 102 118 831 278 605 474 474 352 011 895 348 919 417 742 923 873 371 980 983 336 517 409 056 008 233 804 190 890 418 285 814 476 821 890 492 630 167 665 485 823 056 526 646 050 928 460 488 168 341 721 716 361 299 816 947 722 947 465 808 004 305 806 687 049 198 633 489 997 459 201 469 227 952 552 870 291 934 919 760 829 984 421 958 853 221 330 987 033 580 524 592 596 407 485 826 446 284 220 272 614 663 464 267 135 596 497 185 086 055 090 126 893 989 371 261 962 903 295 313 304 735 911 034 185 619 611 156 742 143

Polka : Racja! Dziękuję bardzo raz jeszcze 😂

Mariusz: ABC napisałeś klasę dużych liczb całkowitych a może zrealizowałeś mnożenie i odejmowanie na łańcuchach ?

ABC: Mariusz − GNU Multiple Precision Arithmetic Library