2 liceum zadania rozne Tomal: Kilka zadan z SUPERMATEMATYKA Prosiłbym o rozwiazania, lub nawet same odpowiedzi.

	2		1		1
1. Ile rozwiazan naturalnych ma rownanie		+		=
	x		y		4

a−5 b−6 c−4 d−2 2. Ile jest liczb miedzy 1 i 1997 dzielacych sie przez 5 lub 7? a−625 b−684 c−627 d−651 3. Ostatnia cyfra liczby 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ + 5¹⁰⁰ to: a−2 b−1 c−3 d−0 4. Rowananie x² − (m+2)x +m + 3=0 ma dokładnie dwa różne pierwiastki x1 x2 takie że

	1		1		1
		+		>
	x12		x22		(m+3)2

dla a−m (−niesk, −2√2) b− m(−niesk, −3)u (2√2, niesko) c− m>−1 d m (−niesko, −3) u (1, niesko) 5 w ilu punktach przecinają sie wykresy funkcji y= |x+1| i y = −|x| +1 a−1 b−nieskonczenie wiele c−2 d−0 6. dla jakich wartosci a rownanie |x+1| +|x| =a nie ma rozwiazan? a. a<0 b a<lub rowne 0 c−a =1 d a> −1 7. jeżeli liczby x,y,z są rozwiazaniami rownań yz=−6 zx=2 xy=−3 to równanie x+y+z wynosi a 1 b 2 c −1 d 0 OD TEGO MOMENTY MOZE BYĆ WIECEJ ODP POPRAWNYCH NIŻ 1. 8 cyfra jedności liczby 2004²⁰⁰³ jest a− naturalna b−zlozona c − rowna 4. 9 rozwiazaniem rownanai x= p3{60 +p3{60 +p3{60... jest liczba. a− naturalna b− pierwsza c−neiwymierna. 10. Dwie liczby są wzajemnie odwrotne. Jedna z nich jest szesnastokrotnoscia drugiej. te liczby to:

	1		1		−1
a− 4 i		b− 16 i		c− −4 i
	4		16		4

11. w trójkacie poprowadzono odcinek laczacy srodki dwoch bokow trojkata wtedy: a− dlug tego odc jest rowna polowie trzeciego boku trojkata b− odcinek ten jest rownolegly do trzeciego boku trojkata c− odcinek ten jest srodkowa jednego z bokow trojkata. 12. dwa rowne kwadraty sa nalozone jeden na drugi tak ze maja wspolny srodek jeden z nich otrzymalismy przez obrot dookoła ich wspolnego srodka o kat 45 stopni. czest wspolna kwadratow to: a− 4kąt b−6kąt c −8kąt 13. oba boki prostokata zmiejszono o 20%. o ile % zmniejszylo sie jego pole? a−20 b−36 d−64 14. Obw prostokata wynosi 112cm dwusieczna jednego z jego katow wewnetrzych dzieli dluzszy bok w stosunku 2;3 boki tego prostokata to: a 35 21 b 30 26 c 16 40

	1
15. Dla funkcji f(x) +3f(		) = x2
	x

	−13		1		−253
a f(2) =		b f(1) =		c f(4)=
	32		4		128

16. w trapezie rownoramiennym podstawa i ramiona sa rowne i wynosza 10 przedluzenie ramion tego trapezu przecinaja sie pod katem prostym, Pole trapezu to: a 50+50√2 b −50+ 50√2 c 50+50√2 17. zbior wartosci f(x) = max(3,|x|) to a Y= <0, niesko) b Y= <3, niesko) c Y={3} 18. w trojkacie abc poprowadzono dwusieczne katow a i b dwusieczne te przecinaja sie w P. a− kat APB jest rozwarty b kąt BAP +kąt ABP <90 c BAP jest ostry.

iteRacj@: Siedemnaście zadań wpisanych w jednym wątku to będzie spory bałagan, ale może poradzisz sobie. 17. zbior wartosci f(x) = max(3,|x|) to Y= <3, ∞)

iteRacj@: 9 przed chwilą było poodobne rozwiązaniem równania x= ³√60 +³√60 +³√60+... jest liczba naturalna

student: 1.

2		1		1
	+		=
x		y		4

1		1		2
	=		−
y		4		x

1		x−8
	=
y		4x

	4x
y =
	x−8

	4x−32+32
y =
	x−8

	32
y = 4 +
	x−8

x−8 musi być dzielnikiem 32 x−8 = ± 32 x−8 = ±16 x−8 = ±8 x−8 = ±4 x−8 = ±2 x−8 = ±1 później wyliczasz dla każdego x, y i wybierasz tylko naturalne rozwiązania

Adamm: 1.

	32
4+		= y
	x−8

(x−8)|32 x−8∊{−1, −2, −4, 1, 2, 4, 8, 16, 32} ale y>0 więc x−8∊{1, 2, 4, 8, 16, 32} mamy 6 rozwiązań

Adamm: 2¹⁰⁰+3¹⁰⁰+5¹⁰⁰ ≡ 0+1+1 ≡ 0 (mod 2) (*) 2¹⁰⁰+3¹⁰⁰+5¹⁰⁰ ≡ 1+1+0 ≡ 2 (mod 5) (**) skąd 2¹⁰⁰+3¹⁰⁰+5¹⁰⁰ ≡ r (mod 10) gdzie 0≤r<10, to r∊{2, 7} bo (**) ale z (*), r = 2

Adamm: 2. |A₅∪A₇| = |A₅|+|A₇|−|A₃₅| |A₅| = [1997/5] = 399 |A₇| = [1997/7] = 285 |A₃₅| = 57 |A₅∪A₇| = 627

Adamm: yz=−6 zx=2 xy=−3 zyx² = yz x² = 1 x = ±1 y = −+3 z = ±2 x+y+z = 1−3+2 = −1+3−2 = 0

janek191: z.10

	1
a,
	a

	1
Niech a >
	a

	1		16
a = 16*		=
	a		a

a² = 16 a = 4

	1
Odp. 4 i
	4

janek191: z.13 P₁ = a*b P₂ = 0,8 a* 0,8 b = 0,64 a*b ΔP = P₁ − P₂ = 0,36 P₁ Pole zmalało o 36 %.