Suma ciągu rekurencyjnego ford: Ciąg (a_n) dany jest wzorem {a₁ = 0 {a₂ = 2 {a_n=a_n−1+n Oblicz sumę 100 początkowych wyrazów tego ciągu

wredulus_pospolitus: a₂ = 2 a₃ = 2 + 3 a₄ = 2 + 3 + 4 a₅ = 2 + 3 + 4 + 5 .... a_n = 2 + 3 + .... + (n−1) + n S_n = ....

Mariusz: a₁=0 a_n=a_n−1+n A(x)=∑_n=1^∞a_nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=∑_n=2^∞a_n−1xⁿ+∑_n=2^∞nxⁿ ∑_n=2^∞a_nxⁿ=x(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+∑_n=1^∞nxⁿ−x

	x
∑n=1∞xn=
	1−x

	1
∑n=1∞xn=−1+
	1−x

d		d		1
	(∑n=1∞xn)=		(−1+		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=1∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	x
∑n=1∞nxn=
	(1−x)2

d		d		x
	(∑n=1∞nxn)=		(		)
dx		dx		(1−x)2

	(1−x)2+2x(1−x)
∑n=1∞n2xn−1=
	(1−x)4

	1+x
∑n=1∞n2xn−1=
	(1−x)3

	x+x2
∑n=1∞n2xn=
	(1−x)3

	−x+x2+2x
∑n=1∞n2xn=
	(1−x)3

	x		2x
∑n=1∞n2xn=−		+
	(1−x)2		(1−x)3

	2x
∑n=1∞(n2+n)xn=
	(1−x)3

	2x
∑n=1∞(n2+n)xn=
	(1−x)3

	x
∑n=1∞anxn=x(∑n=1∞anxn)+		−x
	(1−x)2

	x
(1−x)(∑n=1∞anxn)=		−x
	(1−x)2

	x		x
∑n=1∞anxn=		−
	(1−x)3		1−x

	n2+n−2
∑n=1∞anxn=∑n=1∞(		xn)
	2

S₀=0 S_n=S_n−1+a_n

	1
S(x)=		A(x)
	1−x

	x		x
S(x)=		−
	(1−x)4		(1−x)2

	2x
∑n=1∞(n2+n)xn=
	(1−x)3

d		d		2x
	(∑n=1∞(n2+n)xn)=		(		)
dx		dx		(1−x)3

	2(1−x)3+6x(1−x)2
∑n=1∞(n(n2+n))xn−1=
	(1−x)6

	2+4x
∑n=1∞(n(n2+n))xn−1=
	(1−x)4

	2x+4x2
∑n=1∞(n(n2+n))xn=
	(1−x)4

	−4x+4x2+6x
∑n=1∞(n(n2+n))xn=
	(1−x)4

	4x		6x
∑n=1∞(n(n2+n))xn=−		+
	(1−x)3		(1−x)4

	6x
∑n=1∞(n(n2+n)+2(n2+n))xn=
	(1−x)4

	6x
∑n=1∞(n(n+1)(n+2)xn)=
	(1−x)4

	1
S(x)=∑n=1∞		(n(n+1)(n+2)xn)−∑n=1∞(nxn)
	6

	1
Sn=		n(n+1)(n+2)−n
	6

	1
Sn=		n(n2+3n−4)
	6

	1
Sn=		n(n+4)(n−1)
	6

ford: do tej linijki włącznie ∑_n=2^∞a_n xⁿ=x(∑_n=2^∞a_n−1xⁿ⁻¹)+∑_n=1^∞ nxⁿ−x rozumiem Skąd się nagle wzięło

	x
∑n=1∞ xn =		?
	1−x

Mila: {a₁ = 0, {a₂ = 2 {a_n=a_n−1+n − równanie niejednorodne Rozwiązanie jest postaci:

	2+n
an=a1+∑(k=2 do n)k=0+		*(n−1) ( patrz zapis z 02:17)
	2

	1
an=		(n2+n−2)
	2

	1
S100=		[∑(n=1 do 100)n2+∑(n=1 do 100)n] −200=
	2

Na sumę kwadratów kolejnych liczb naturalnych jest gotowy wzór i na następną sumę też. S₁₀₀=171600

ford: No tak, rozbito ciąg na 3 sumy i skorzystano ze wzorów Dzięki Mila i wredulus

Mariusz: ford to jest szereg geometryczny Po jego zróżniczkowaniu otrzymałem tworzącą ciągu b_n=n po kolejnym zróżniczkowaniu otrzymałem tworzącą ciągu b_n=n² Po prostu znałem tworzącą ciągu jedynek i wiedziałem że po zróżniczkowaniu otrzymam tworzącą ciągu kolejnych liczb naturalnych a po kolejnym zróżniczkowaniu otrzymam tworzącą ciągu kolejnych kwadratów liczb naturalnych Zamiast różniczkowania szeregu geometrycznego można też skorzystać z dwumianu Newtona Dla ciągu indeksowanego od zera jak tablice w C

m!
	=∑n=0∞(∏k=1m(n+k))qnxn
(1−qx)m+1

Mariusz: No fajnie tylko funkcją tworzącą więcej równań rekurencyjnych rozwiążesz co pozwoli ci obliczać sumy częściowe większej liczby ciągów

ford:

	a1
ok, wyjaśniło się − rzeczywiście szereg geometryczny, zadziałałeś wzorem S =		, muszę
	1−q

sobie dalej to przeanalizować co napisałeś

Mariusz: ford różniczkowanie miałeś ? Kreślisz sieczne do krzywej Sieczne te mają dwa punkty wspólne z krzywą Sieczne te przecinają się w jednym punkcie Drugie punkty tych siecznych tworzą ciąg (np x_n) Jeżeli dla każdego ciągu x_n odpowiadający mu ciąg współczynników kierunkowych siecznych (np as_n) dąży do tej samej granicy to ta granica jest współczynnikiem kierunkowym stycznej do funkcji f Możesz jeszcze zdefiniować funkcję argumentom x przyporządkuje współczynnik kierunkowy stycznej do funkcji f Miałeś coś takiego ? Jak nie to może lepszy będzie dwumian Newtona