Zapisać wzór Taylora .: Zapisać wzór Taylora dla n=3 f(x)=³√x w punkcie x₀=1 i oszczacować błąd przybliżenia tej funkcji wielomianem dla x∊[0.5,1.5] f(x)=x^1/3

	1
f'(x)=		x−2/3
	3

	2
f''(x)=−		x−5/3
	9

	10
f'''(x)=		x−8/3
	27

f(1)=1

	1
f'(1)=
	3

	2
f''(1)=−
	9

	10
f'''(1+(x−1)θ)=
	27*3√(1+(x−1)θ)8

	1		1
f(x)=1+		(x−1)−		(x−1)2 + Rn(x,x0)
	3		9

Stąd otrzymuję przybliżenie:

	1		1
3√x≈1+		(x−1)−		(x−1)2
	3		9

Szacuję błąd przybliżenia tej funkcji wielomianem dla x∊[0.5,1.5]: //I tutaj mam problem bo nie wiem za bardzo jak oszacować błąd przybliżenia dla x'ów z przedziału, czy ktoś mógłby mi podpowiedzieć jak to podstawić?//

	10
|Rn(x,x0)=|		| = ?
	27*3√(x0+(x−x0)θ)8

.: Ktokolwiek?

mat: Funkcja y=x^−8/3 jest malejąca stąd w przedziale <0.5,1.5> największą wartość będzie miał dla x=0.5

	10
mamy zatem |błąd|≤		*(0.5)−8/3
	27

.: Czyli jeżeli ostatnia pochodna byłaby rosnąca to wtedy również biorę największy punkt z przedziału, którym wtedy będzie 1.5?

mat: tak

mat: zawsze oszacowujesz błąd przez największą wartosc jaką moze przyjąć dana pochodna (w zadanym przedziale)

mat: tam ma być oczywiscie f'''(x)(x−x₀)³/3 zasugerowalem sie troche tym co napisale(a)ś

.: Okej, dziękuje za pomoc

.: Ah tak, zapomniałem jeszcze podzielić przez 3!

mat:

	10
|błąd|≤		(0.5)−8/3*0.5/6 0.5 bo tyle jest od 1 do końcow przedzialu
	27

mat: 0.5³ *** ma nadzieje ze jasne, w miare

.: Jasne, wszystko rozumiem tylko po prostu nie wiedziałem jak postawić te iksy z przedziału

mat: |x−1|≤0.5 dla x∊<0.5,1.5>, więc |(x−1)³|≤0.5³

	f'''(x)		10
dlatego |błąd|=|		(x−1)3|≤		(0.5)−8/3*(0.5)3/6
	3!		27

.: 0.5 dlatego bo w reszcie podstawiamy w taki sposób: f'''(x₀+(x−x₀)θ) = f'''(1+(0.5−1))= f'''(1−0.5)=f'''(0.5) Tak?

mat: musimy oszacować |(x−x₀)³|, gdzie x₀=1, x∊<0.5,1.5> i wybramy te ,,najgorszą sytuacje"

.: Da się to jakoś przenieść na ten wzór na resztę? Chciałbym zrozumieć to zgodnie z tym twierdzeniem, które mam. Tutaj twierdzenie: https://i.imgur.com/Y2Nn1qZ.png

mat: No tak: Twoj przedział to <0.5, 1.5> x₀+θ(x−x₀) należy do tego przedziału, tak jest skonstruowany ten punkt Nazwijmy go ,,y". Chcemy jakoś oszacować |f'''(y)| na tym przedziale. Nie wiem ile wynosi θ, w tym problem (wiemy tylko, że θ∊(0,1)) Twoja pochodna jest funkcją malejącą, więc największą wartosc będzie miała dla argumentu 0.5 Zatem |f'''(y)|≤|f'''(0.5)| −−−−−−−−−−−−−−−−− Z drugiej strony chcielibyśmy oszacować |(x−x₀)³| gdzie x₀=1, a x∊<0.5, 1.5> Możnaby napisać tak:

	10
|błąd|≤		(0.5)−8/3 /3!*|(x−1)3|
	27

	10
gdybyśmy chcieli mieć konkretną liczbę, to |błąd|≤		(0.5)−8/3 /3!*|0.53|
	27

bo |x−1|≤0.5 dla x∊<0.5, 1.5>

.: Okej, chyba już wszystko rozumiem. Dzięki za cierpliwość