Udowodnij równaność trygonometryczną trygonometrysta: Wykaż, że jeżeli x−y = π/2, to sin⁴ (x+y) − cos⁴ (x+y) = cos 4x Mogę wyznaczyć x albo y, ale co dalej?

Leszek: L= sin²(x+y) − cos²(x+y) = − cos[2(x+y)] P= cos4x Dokoncz .....

trygonometrysta: Czyli w zasadzie to rozkładam ze wzoru skróconego mnożenia, mam −cos (4x − π). cos π to −1, czyli wychodzi na to, że finalnie wynik to −1 * −cos 4x czyli cos 4x? Bo jakoś to do mnie nie przemawia, żeby obliczyć tylko wartość tego cos pi, "zostawiając" drugą część argumentu

Leszek: cos[2(x+y)] = cos 4x , bo funkcja parzysta i podstaw y = x−π/2

trygonometrysta: No podstawiam, mam coś takiego: −cos(4x−π)

trygonometrysta: do cos(2(x+y)) wstawiam y = x − π/2

Mila:

	π
y=x−
	2

L=[sin²(x+y)−cos²(x+y)]*[(sin²(x+y)+cos²(x+y)]= =[sin(x+y)−cos(x+y)]*[sin(x+y)+cos(x+y)]*1=

	π		π		π		π
=[sin(2x−		)−cos(2x−		)]*[sin(2x−		)+cos(2x−		)]=
	2		2		2		2

	π		π
=[sin(2x−		)−sin(2x)]*[sin(2x−		)+sin(2x)]=
	2		2

	2x−π2+2x		2x−π2−2x		2x−π2+2x		2x−π2−2x
=2cos		*sin		*2sin		*cos		=
	2		2		2		2

	4x−π2		4x−π2
=2*cos		*sin(−(π/4))*2*cos(−(π/4))*sin		=
	2		2

	π		π
=(−1)*sin(4x−		)=(−1)*(−1) sin(		−4x)=
	2		2

=cos(4x) =======

Eta: y=x+(π/2) sin⁴(2x+(π/2)) = cos⁴2x i cos⁴(2x+(π/2))= sin⁴2x L= cos⁴2x−sin⁴2x= (cos²2x−sin²2x)(cos²2x+sin²2x)= cos4x*1=cos4x=P

Eta:

Eta: y=x−(π/2) miało być

Eta: Oczywiście,to nie zmienia dalszych obliczeń ( wzory redukcyjne)

trygonometrysta: Dzięki, teraz rozumiem

trygonometrysta: Swoją drogą, Mila, we fragmencie podświetlonym na niebiesko, czyli: sin(−(π/4))*2*cos(−(π/4)) wychodzi na to, że można by było skorzystać ze wzoru sin2x = 2sinxcosx, czyli to jest sin(2*(−π/4) czyli sin(−π/2), sin dla π/2 wynosi 0 − na pewno to jest dobrze?

Mila:

	π
sin		=1
	2

	π
sin(−		)=−1
	2

	π		π
cos		=cos(−		)=0
	2		2

trygonometrysta: faktycznie, źle patrzyłem do tablic, teraz już wszystko jasne