Rozkład wielomianu Kot-chromowany: Dzień dobry Chciałbym zapytać o rozkład wielomianu W(x) = x⁵ + x⁴ + 4x³ + 8x² + 8x + 32 Tzn. Wychodzi mi, że W(−2) = 0 Czyli W(−2) = (2−2)*Q(x) + r = 0 czyli r =0 czyli (x+2) | W(x) Po podzieleniu wychodzi W(x) = (x+2) (x⁴ − x³ + 6x² −4x + 16) I moim pytaniem jest jak w miarę Szybko sprowadzać to do postaci z odpowiedzi:(x+2)(x²−2x+4)(x²+x+4) = W(x)

Adamm: Są ogólne metody rozwiązywania równań 4 stopnia, ale można to zrobić prościej Widać że nie ma pierwiastków wielomianu x⁴−x³+6x²−4x+16, t. j. nie da się go rozłożyć na iloczyn wielomianu stopnia 3 i 1 o współczynnikach będących liczbami wymiernymi Istnieje analog tej metody dla rozkładu na iloczyn wielomianów wyższych stopni w tym przypadku stopnia 2 (współczynniki mają być całkowite) tą metodę znalazłem u Sierpińskiego x⁴−x³+6x²−4x+16 = (x²+ax+b)(x²+cx+d) ⇒ bd = 16 ad+bc = −4 b+d+ac = 6 a+c = −1 z pierwszego równania, (b, d)∊{(1, 16), (2, 8), (4, 4), (−1, −16), (−2, −8), (−4, −4)} (poza symetrycznymi przypadkami które pomijamy) b = 1, d = 16, to 16a+c = −4 ac = −11 a+c = −1 skąd 15a = −3, sprzeczność b = 2, d = 8, to 8a+2c = −4 ac = −4 a+c = −1 skąd 6a = −2, sprzeczność b = 4, d = 4, to a+c = −1 ac = −2 skąd (a, c)∊{(1, −2), (−1, 2)} oczywiście, a = 1, c = −2 tylko pasuje więc b = d = 4, a = 1, c = −2 x⁴−x³+6x²−4x+16 = (x²+x+4)(x²−2x+4)

PW: Gdybyśmy w przewidywaniu wyniku poszli nieco dalej, to znaczy (u+4)(v+4) = uv+4u+4v+16, to musi być uv + 4(u+v) = x⁴ − x³ + 6x² − 4x Biorąc u=x²+bx oraz v=x²+cx otrzymamy x⁴+(b+c)x³+bcx²+4(2x²+bx+cx) = x⁴ − x³ + 6x² − 4x b+c = −1 i bc+8 = 6 i 4(b+c) = −4. Pierwsze i trzecie równanie są równoważne, z pierwszego c = −(b+1) wstawiamy do drugiego: −b(b+1)+8 = 6 −b²−b+2=0 b=1 lub b=−2, skąd c=−2 lub c=1, rozwiązaniami sa pary (b, c) = (1, −2) lub (b,c) = (−2, 1), które dają to samo rozwiązanie problemu: u = x²+1x, v = x²−2x, co zgadza sie z wynikiem szanownego przedmówcy.

Mariusz: U Sierpińskiego jest nieco inna metoda Polega ona a sprowadzeniu wielomianu najpierw do różnicy kwadratów a dopiero później do iloczynu dwóch trójmianów Metoda ze współczynnikami nieoznaczonymi , wymnażaniem trójmianów kwadratowych porównywaniem współczynników i rozwiązywaniem układu równań zadziała dla prawie każdego równania czwartego stopnia ale gdy nie usuniemy wyrazu z x³ będziemy mieli więcej obliczeń Napisałem że zadziała dla prawie każdego równania czwartego stopnia bo przy obliczaniu współczynników występuje dzielenie i gdy wszystkie pierwiastki równania rozwiązującego będą równe zero będziemy mieli dzielenie przez zero bo nie będziemy mieli możliwości wyboru pierwiastka Dlatego uważam że jeśli już wyodrębniać jakiś przypadek szczególny równania czwartego stopnia to lepiej wyodrębnić tzw równanie dwukwadratowe a zanim przystąpimy do rozkładu wielomianu na czynniki kwadratowe współczynnikami nieoznaczonymi proponuję podstawieniem usunąć podstawieniem wyraz z x³ tzn sprowadzić równanie do postaci y⁴+b₂y²+b₁y+b₀=0 Dlaczego lepiej wyodrębnić równanie dwukwadratowe niż równania zwrotne ? Po usunięciu wyrazu z x³ wyodrębnienie równania dwukwadratowego pozwoli uniknąć dzielenia przez zero podczas liczenia współczynników a wyodrębnienie równań zwrotnych nie Poza tym dla równań zwrotnych stosunkowo łatwo jest znaleźć pierwiastek równania rozwiązującego więc niewiele to nam da gdy je wyodrębnimy

Adamm: @Mariusz Jeszcze inna metoda

Mariusz: Przeglądałem Sierpińskiego i znalazłem tam dla równań czwartego stopnia jedynie Uogólnienie metody dla równania trzeciego stopnia W metodzie rozwiązywania równań trzeciego stopnia przyjmujemy że pierwiastki równania są w postaci sumy dwóch składników W uogólnieniu na równania czwartego stopnia przyjmujemy że pierwiastki równania są w postaci sumy trzech składników Metodę Ferrariego Jeżeli się dobrze przyjrzysz to jest ona analogiczna do metody rozwiązywania równania kwadratowego przez sprowadzenie do postaci kanonicznej W przypadku równania kwadratowego po sprowadzeniu do postaci kanonicznej mogłeś już od razu korzystać z różnicy kwadratów W przypadku równania czwartego stopnia aby rozwiązać równanie tą metodą musisz jeszcze skorzystać z tego że trójmian kwadratowy jest kwadratem zupełnym wtedy gdy jego wyróżnik jest równy zero Amerykańcy używają pojęcia completing the square czyli uzupenianie do kwadratu i tutaj chyba lepiej ono pasuje Metoda funkcyj symetrycznych Tworzysz równanie szóstego stopnia o współczynnikach będących funkcjami symetrycznymi pierwiastków równania czwartego stopnia sprowadzalne do równania trzeciego stopnia Współczynniki wielomianu są funkcjami symetrycznymi więc można je wyrazić za pomocą funkcyj symetrycznych podstawowych np stosując algorytm redukcji Funkcje symetryczne podstawowe zaś są związane ze współczynnikami wielomianu (tutaj czwartego stopnia) wzorami Vieta − stąd wniosek że aby skorzystać z wzorów Vieta musisz już funkcję symetryczną mieć przedstawioną za pomocą funkcyj symetrycznych podstawowych bo w odwrotną stronę to nie działa Tylko te trzy metody znalazłem u Sierpińskiego Metoda którą przedstawiłeś też działa tylko ja zaproponowałem te dwie modyfikacje aby było mniej obliczeń Dla przypomnienia Pierwsza modyfikacja to Sprowadzenie wielomianu do postaci y⁴+b₂y²+b₁y+b₀ Aby sprowadzić wielomian do tej postaci możemy zastosować kilkukrotnie schemat Hornera bądź zastosować odpowiednie podstawienie Pasujące podstawienie łatwo znaleźć znając wzory skróconego mnożenia Druga modyfikacja to Wyodrębnienie równania dwukwadratowego Równanie (y²)²+b₂(y²)+b₀=0 łatwo rozwiązać podstawiając nową zmienną za y² Pozwoli to na uniknięcie dzielenia przez zero w rozkładzie wielomianu czwartego stopnia na iloczyn dwóch trójmianów kwadratowych

Adamm: http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/mon/mon11/mon1108.pdf Chodziło mi raczej o tą część. Dużo tam mówi o rozkładalności wielomianów Raczej gdzieś bardziej na końcu to było. Czym jest ten algorytm redukcji znajdowania postaci wielomianów symetrycznych względem wielomianów symetrycznych podstawowych?

Adamm: Ten sposób jest potraktowany jako pewne uogólnienie twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu

Mariusz: Adamie pewnie już znalazłeś o co mi chodziło z tym algorytmem redukcji wielomianów symetrycznych ale odpiszę bo może kto inny też się tym zainteresuje Przykładowo mamy wielomian symetryczny ∑x³y²z i chcemy go wyrazić za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych czyli tych które występują we wzorach Vieta W podanym przeze mnie przykładzie będą to wielomiany x+y+z xy+xz+yz xyz Bierzemy wielomian symetryczny ∑x³y²z i zastanawiamy się jakie wielomiany symetryczne podstawowe należy pomnożyć aby jednym ze składników był wielomian ∑x³y²z Wielomian ten możemy zapisać w ten sposób ∑(xyz)(xy)x stąd pomysł aby sprawdzić czy różnica ∑x³y²z − p₃p₂p₁ będzie miała niższy stopień niż wyjściowy wielomian przy czym p₁=x+y+z p₂=xy+xz+yz p₃=xyz Algorytm kończy się gry otrzymamy różnicę równą zero Tutaj akurat różnica nie będzie miała niższego stopnia ale przynajmniej obniżymy stopień przy jednej ze zmiennych ∑x³y²z=p₁p₂p₃−3p₂² Ta równość będzie spełniona tylko dla trzech zmiennych Jak dla mnie to ten sposób na przedstawienie wielomianu symetrycznego za pomocą wielomianów symetrycznych podstawowych to trochę zgadywanie jakie wielomiany należy pomnożyć a jakie odjąć ale nie znam innego który byłby bardziej efektywny Może ty do tego czasu wyszukałeś coś bardziej efektywnego −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− A tak znalazłem u Sierpińskiego ten sposób na rozkład wielomianu czwartego stopnia w tym rozdziale który podałeś Paragraf o wielomianach nieprzywiedlnych