średnie Ala: Jak najłatwiej udowodnić, że średnia arytmetyczna jest zawsze większa równa od geometrycznej?

ABC: Ala w przypadku ogólnym? to najpierw dla n=2, 4, 8 ,... a potem przez indukcję wsteczną można

PW: Dla dwóch składników nieujemnych a i b: (√a−√b)² ≥ 0 a−2√a√b+b ≥ 0 a+b ≥ 2√ab, przy czym jest oczywiste, że równość ma miejsce wtedy i tylko wtedy gdy a=b.

Ala: Tak, w ogólnym przypadku. Słyszałam o tej indukcji wstecznej ale zastanawiam się, czy nie ma może innych też dosyć prostych sposobów.

Adamm: Nie jest to najłatwiejszy, ale najładniejszy dowód. Najłatwiejszy jest przez wypukłość. Dowód Cauchy'ego Tutaj a_n≥0

a1+a2
	≥ √a1a2 − prosta nierówność
2

	a1+...+a2n
Jeśli		≥ (a1...a2n)1/2n dla dowolnych nieujemnych
	2n

a₁, ..., a_2ⁿ, to

a1+...+a2n+1
	≥
2n+1

(a1...a2n)1/2n+(a2n+1...a2n+1)1/2n
	≥
2

(a₁...a_2ⁿ⁺¹)^1/2n+1 zatem przez indukcję, nierówność zachodzi dla potęg dwójki Ale jeśli

a1+...+an+1
	≥ (a1...an+1)1/(n+1)
n+1

to jeśli przyjąć a_n+1 tak by

a1+...+an+1		a1+...+an
	=
n+1		n

t. j.

	a1+...+an
an+1 =
	n

to mamy

a1+...+an		1
	≥		(a1+...+an)1/(n+1)(a1...an)1/(n+1)
n		n1/(n+1)

	a1+...+an
(		)n/(n+1) ≥ (a1...an)1/(n+1)
	n

a1+...+an
	≥ (a1...an)1/n
n

zatem nierówność jest prawdziwa dla każdego n

Adamm: Ponieważ lnx jest funkcją wklęsłą, więc dla, tym razem dodatnich a_i, mamy

	1		1
ln(		∑ ai) ≥		∑ ln(ai)
	n		n

skąd od razu

1
	∑ ai ≥ (∏ ai)1/n
n

Ala: Dziękuję bardzo

PW: W rosyjskiej książce sprzed 40 lat mam taki sposób (przy odpowiednich założeniach): 1. dowodzi się przez indukcję, że jeżeli x₁x₂...x_n = 1, to x₁+x₂+...x_n ≥ n, 2. podstawia się

	ai
xi=
	n√a1a2...an

i gotowe.

ABC: też to mam w takiej cieniutkiej zielonej ksiazeczce "Inequalities" wydanej przez sowieckie wydawnictwo "Mir " po angielsku,autor w transkrypcji angielskiej Korovkin

PW: Ta moja ma tytuł "Praktikum po rieszeniu matiematiczeskich zadacz", autorki Wieriesowa, Denisowa, Poliakowa. Dużo ładnych trudnych zadań ułożonych w kolejności sprzyjającej uczeniu się. Gdybym umiał wszystko co jest w tej książeczce...

ABC: a tego nie znam, ciekawe czy gdzieś pdf można w necie znaleźć