udowodnienie że wielomian nie osiąga wartości ujemnych andriej: witam mam taki oto wielomian: W(a) = a⁴ + 2a³ + a² − 4a + 4 muszę udowodnić że dla całej swej dziedziny nie osiąga on wartości ujemnych, czyli w tym przypadku − nie ma miejsc zerowych. Tylko jak to zrobić? Nie przychodzi mi na myśl jak przekształcić ten zapis, widzę (a² + a)² dla pierwszych trzech wyrazów ale co z prawą stroną? Czy może jakoś kombinować z pochodną? Może mnie ktoś nakierować? Proszę nie rozwiązywać tylko dać wskazówkę, dziękuję.

ICSP: Zakładamy a ≠ 0. Wtedy

	2		4
W(a) = a2 [ a2 + 2a + 1 −		+		]
	a		a2

I stosujesz podstawienie :

	1
t = a −
	a

gdzie

	4		1
a2 +		= (a −		)2 + 2 = t2 + 2
	a2		a

andriej: a okej wiem, trzy ostatnie wyrazy zapisać jako (a − 2)² i mamy sumę plus >= 0

ICSP:

	4
tam powinno być −		.
	a

	2
Podstawienie : t = a −
	a

Reszta dobrze.

andriej: a chwila te moje to nie musi być prawda bo a³ może być ujemny

andriej: serio trzeba tak kombinować?

ABC: możesz metodą Ferrariego i tak potem Mariusz przyjdzie i zrobi , albo jej modyfikacjami − przewidujesz rozkład na trójmiany kwadratowe

ICSP: tutaj nie ma żadnego kombinowania. Proste przekształcenia.

andriej: to wez go zawolaj lepiej nie no nie da się zrobić tego jakoś pochodnymi? widać że w minus nieskończoności i plus nieskończoności wielomian osiąga dodatnie wartości, a nie jest tak że jak ekstrema wyjdą dodatnie w takim przypadku to funkcja nie ma miejsc zerowych?

ABC: proste to one są dla ludzi poprzedniej epoki którzy wszystko ręcznie liczyli, a młodzi wymiękają

ABC: f(x)=x⁴+2x³+x²−4x+4 f'(x)=4x³+6x²+2x−4 licz f'(x)=0 ale jak nie będzie ładnych pierwiastków?

andriej: to sie obraze, zaraz policze

ICSP: Nie będzie ładnych

andriej: kurde dobra moze się przekonam do tych prostych przekształceń, na pewno mi to nie zaszkodzi

Mariusz: a⁴ + 2a³ + a² − 4a + 4 (a⁴ + 2a³ + a²)−(4a − 4)

	b		b2
(a2+a+		)2−(ba2+(b+4)a +		− 4)
	2		4

	b2
4(		− 4)b−(b+4)2=0
	4

(b²−16)b−(b+4)²=0 (b+4)(b−4)b−(b+4)(b+4)=0 (b+4)(b²−4b−b−4)=0 (b+4)(b²−5b−4)=0 Niech b=−4 mamy wtedy (a²+a−2)²+4a² (a²+a−2)²+(2a)²

	5+√41		10+2√41
b=		=
	2		4

	b		b2
(a2+a+		)2−(ba2+(b+4)a +		− 4)
	2		4

	b		b+4
(a2+a+		)2−b(a+		)2
	2		2b

	b		b+4
(a2+a+		)2−√b2(a+		)2
	2		2b

	b		b+4
(a2+a+		)2−(√ba+		)2
	2		2√b

	b		b+4		b		b+4
(a2+(1+√b)a+		+		)(a2+(1−√b)a+		−		)
	2		2√b		2		2√b

	√10+2√41		5+√41		13+√41
(a2+(1+		)a+		+		)
	2		4		2√10+2√41

	√10+2√41		5+√41		13+√41
(a2+(1−		)a+		−		)
	2		4		2√10+2√41

Dla równań do czwartego stopnia włącznie są lepsze metody niż ta jaką proponuje ICSP Tutaj łatwo było wyciągnąć wspólny czynnik z równania rozwiązującego i tak jest w każdym zwrotnym równaniu czwartego stopnia ABC 9 lut 2019 14:39 Jeśli chcemy przewidywać rozkład na trójmiany kwadratowe to proponowałbym najpierw usunąć wyraz z x³ Rozwiąż choć jedno równanie w ten sposób a będziesz wiedział dlaczego

ABC: Mariusz dzięki za cenne uwagi , choć pamiętam że dawno temu coś tam rozwiązałem przewidywaniami bez usuwania trzeciej potęgi, ale teraz to przeanalizuję

jc: W(a)=(a²+a−1)² + (a−1)²+a²+2 Nawet dwójki nie osiąga.

Mariusz: ABC gdybyś nie usuwał trzeciej potęgi to byś dostał równanie rozwiązujące szóstego stopnia przy czym podstawienie sprowadzające do równania trzeciego stopnia trudniej byłoby zauważyć więc jeśli koniecznie chcesz zostawić trzecią potęgę to proponuję najpierw sprowadzić wielomian do różnicy kwadratów andriej jak chcesz to mogę opisać sposób którego użyłem 1. Grupujemy wyrazy w dwa nawiasy pomiędzy którymi stawiamy znak minus W lewym nawiasie umieszczamy wyrazy z x⁴ oraz x³ (tutaj od razu zauważyłem wzór skróconego mnożenia i dlatego umieściłem w nim także wyraz z x²) W prawym nawiasie umieszczamy pozostałe wyrazy 2. Dopełniamy wielomian w lewym nawiasie korzystając z wzorów skróconego mnożenia i pamiętając że cokolwiek dodajesz do jednego nawiasu musisz dodać do drugiego nawiasu bo pomiędzy nawiasami stoi minus 3. Zauważ że w prawym nawiasie masz trójmian kwadratowy Będzie on kwadratem zupełnym gdy jego wyróżnik będzie równy zero Gdybyś liczył wyróżnik od razu mogłoby się okazać że nie jest on równy zero 4. Wprowadzasz nową niewiadomą tak aby wielomian w lewym nawiasie nadal był kwadratem zupełnym znowu korzystasz z wzorów skróconego mnożenia Po obliczeniu wyróżnika trójmianu kwadratowego i przyrównaniu go do zera dostajesz równanie trzeciego stopnia 5. Po rozwiązaniu równania trzeciego stopnia korzystasz z wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów i otrzymujesz wielomian czwartego stopnia w postaci iloczynu dwóch trójmianów kwadratowych

andriej: Dzięki Mariusz wygląda to strasznie zwłaszcza dla nowego pokolenia którego jestem przedstawicielem ale postaram się nie być aż taki stereotypowy. Ogólnie rzecz biorąc to zadanie jest maturalne, ale to tylko jego część, z którą miałem problem. Okazało się jednak że znacznie łatwiej można było je rozwiązać nie wymnażając pewnego równania i nie otrzymując wielomianu który dałem wam do rozwiązania. Jednak bezmyślnie to zrobiłem Tak czy inaczej dzięki za pomoc, zawsze lepiej zwiększać swoją tolerancję do brzydkich rachunków.

jc: andriej, zadanie nie wymaga strasznych rachunków. Wystarczy, że wielomian zapiszesz jako sumę kwadratów, co można zrobić na wiele sposobów, choćby tak, ja ja to zrobiłem: W(a)=(a²+a−1)² + (a−1)²+a²+2