trygonometria Paweł: Rownanie trygonometryczne 2sin²x − 3cosx = 3 Podstawiam pod sinx = t gdzie t ∊ <−1,1> Rozwiazuje, wychodza pierwiastki t₁ = −1/2 oraz t₂ = −1 I dalej nie wiem jak to zrobic, z cosinusami w rownaniach zawsze mam problem. Przy t₁ chcialem normalnie dac −π/3, ale w ksiazce jest −2/3π. Wytlumaczy ktos jak to robic?

Jerzy: A co zrobiłeś z cosx ?

Paweł: W sensie? Bo jak chcialem napisac rozwiazanie to chcialem zrobic tak: Dla cosx = −1/2 x = −π/3 + 2kπ lub x = −π/3 + 2kπ Dla cosx = −1 x= π +2kπ Ale to co zrobilem dla cosx = −1/2 jest niepoprawne i nie wiem czemu. Ponadto w zeszycie mam jeszcze napisane rozwiazanie dla cosx= −√3/2 i tez nie wiem czemu...

Jerzy: cos (π − x) = − cosx cos (π − π/3) = − cos(π/3)

Jerzy: Teraz potrafisz ?

Paweł: a bez wzrorow redukcyjnch? bo tego na maturze w tablicach nie ma.

ICSP: Wzory redukcyjne są w tablicach maturalnych.

Paweł: ale nie dla wszystkich katow

Jerzy: Wzory redukcyjne są prawdziwe dla dowolnego kąta.

ICSP: Są dla wszystkich. Najwyżej będziesz musiał z nich dwa razy skorzystać.

Jerzy: Funkcję dowolnego kąta sprowadzisz do funkcji kąta pierwszej ćwiartki.

jc: 2sin²x − 3cos x = 3 cos x = t 2(1−t²)−t=3 2t² + t −1 =0 t=1/2 lub t=−1 cos t = −1 lub cos t = 1/2

Jerzy: @jc ...... zgubiłeś 3 i masz błdne rozwiązania.

ICSP: 2t² + 3t −1 =0 Pierwiastki policzone dobrze. Problem jest ze znalezieniem wszystkich rozwiązań równań : cos(x) = −1

	1
cos(x) = −
	2

Pierwsze jest proste x = π(2k + 1) , k ∊ Z Drugie :

	1
cosx = −
	2

	2π
szukamy rozwiązań w przedziale [0 ; π] skad natychmiast x =
	3

dodajemy okresowość i drugie rozwiązanie z minusem (parzystość cos) :

	2π
x =		+ 2kπ
	3

	−2π
x =		+ 2kπ
	3

k ∊ Z

Jerzy: ICSP , też pomyliłeś znaki.

ICSP: +1. Pierwiastki i resztę mam dobrze.

Paweł: czego w przedziale [0; π] szukamy?

ICSP: Parzystość cos(x)

Paweł: ehh, nadal nie wiem.

Jerzy: cos(−x) = cosx (parzystość)

ICSP: Jeżeli masz funkcję f(x) = cos(x) i chcesz znaleźć rozwiązania równania cos(x) = a gdzie |a| < 1 to najpierw znajdujesz rozwiązanie równania w przedziale (0 ; π). W ten sposób dostajesz jedno rozwiązanie. Potem korzystasz z parzystości funkcji cos(x). Tzn cos(−x) = cos(x) co daje Ci drugie rozwiązanie w przedziale (−π ; 0). W ten sposób masz wszystkie rozwiązania w przedziale (−π ; π) i wystarczy dodać okresowość. Przypadki gdy cosx = ± 1 możesz albo zapamiętać albo za każdym razem rysować sobie w głowie przybliżony wykres i z niego odczytywać rozwiązania.