Liczby zespolone JS: Jak rozwiązać równanie zespolone z²=−4i*(z sprzężone)

Jerzy: Np tak: (x + iy)² + 4i*(x − iy) = 0

jc: Porównanie modułów obu stron daje |z|² = 4|z|, a więc z=0 lub |z|=4. Załóżmy teraz, że |z|=4. Mnożymy obie strony przez z. z³= −i4³

	−1+i √3		−1−i √3
z=4i lub z= 4i*		lub z= 4i*		.
	2		2

Sam wykonaj mnożenie.

JS: Sorry, pomyliłem się. Miało być z³=−4i*(z sprzężone). I trzeba naszkicować zbiór rozwiązań.

jc: No to jeszcze prościej. |z|³=4|z| z=0 lub |z|=2 z⁴=−16i Wzór de'Moivre da Ci 4 rozwiązania.

jc: (√ √2 + 1 + i √ √2 − 1)²=2(1+i) (√ √2 + 1 + i √ √2 − 1)⁴=4i (√ √2 + 1 − i √ √2 − 1)⁴=−4i Czyli prawie masz jedno z rozwiązań, wystarczy pomnożyć przez √2. Pozostałe rozwiązania uzyskasz mnożąc posiadane rozwiązanie przez −1, i, −i.

JS: A to nie jest tak, że jak jest pierwiastek n−tego stopnia to ma się n rozwiązań?

jc: No przecież masz 4 rozwiązania: pierwsze −pierwsze i*pierwsze −i*pierwsze

Mila: z³=−4i z^* 1) z=0 spełnia równanie 2) z≠0, skorzystamy z postaci wykładniczej liczby z. z=|z|*e^{φ i} i 0≤φ<2π |z|³*e^{3φ i}=4*e^3π₂*|z|*e^{−φ i} |z|³*e^{3φ i}=4|z|*e^{3π₂−φ i}⇔ |z|³=4|z| i 3φ=^3π₂−φ +2kπ, k∊{0,1,2}

	3π
|z|=2 i 4φ=		+2kπ
	2

	3π		7π		11π
φ=		lub φ=		lub φ=
	8		8		8

Stąd

	3π		3π
z0=2*(cos		+i sin		) lub
	8		8

	7π		7π
z1=2*(cos		+i sin		) lub
	8		8

	11π		11π
z2=2*(cos		+i sin		)
	8		8

=======================