Dowód faktu całki Lebesgue'a z funkcji nieujemnej Miara i całka Lebesgue'a: Jak udowodnić że jeśli f jest nieujemna funkcja mierzalna i μE=0, to ∫_Efdμ=0?

Adamm: istnieje mierzalny ciąg funkcji prostych, taki że f_n → f w sposób rosnący z definicji, ∫_E f dμ = lim_n→∞ ∫_E f_n dμ ale nie trudno się przekonać, że z konwencji 0*∞ = 0 wynika, że dla dowolnej mierzalnej funkcji prostej g, ∫_E g dμ = 0 zatem ∫_E f dμ = 0, jako granica zer