zad pisss: ln(sinx)−lnx w mianowniku w liczniku x² jaka bedzie pochodna przy x →0+

Jerzy: Pochodną liczy się w punkcie.

pisss: jejku, przepraszam, granica

Mariusz:

	f(x+Δx)   f(x)   − g(x+Δx)   g(x)
limΔx→0		=
	Δx

	f(x+Δx)g(x)−f(x)g(x+Δx)   g(x+Δx)g(x)
limΔx→0		=
	Δx

	f(x+Δx)g(x)−f(x)g(x)+f(x)g(x)−f(x)g(x+Δx)   g(x+Δx)g(x)
limΔx→0		=
	Δx

	(f(x+Δx)−f(x))g(x)−f(x)(g(x+Δx)−g(x))
limΔx→0		=
	g(x+Δx)g(x)Δx

	f(x+Δx)−f(x)   g(x+Δx)−g(x)   g(x)−f(x) Δx   Δx
limΔx→0
	g(x+Δx)g(x)

f(x+Δx)−f(x)   g(x+Δx)−g(x)   limΔx→0 g(x)−f(x)   Δx   Δx
limΔx→0g(x+Δx)g(x)

f(x+Δx)−f(x)   limΔx→0 g(x)   Δx
	−
limΔx→0g(x+Δx)g(x)

g(x+Δx)−g(x)   limΔx→0f(x)   Δx
limΔx→0g(x+Δx)g(x)

	f'(x)g(x)−f(x)g'(x)
=
	g2(x)

Jerzy: @Mariusz ... tutaj trzeba policzyć granicę, a nie pochodną.

Mariusz:

ln(sin(x))−ln(x)
x2

sin(x)   ln( )   x
x2

	sin(x)
ln(		)1/x2
	x

	sin(x)−x
ln(U{1+		})1/x2
	x

	sin(x)−x
ln(U{1+		})x/(sin(x)−x)(sin(x)−x)/x3
	x

	sin(x)−x
lim
	x3

pisss: no i co dalej

Mariusz: W mianowniku mamy x³ Gdybyśmy w liczniku mieli sin³(x) to moglibyśmy rozbić tę granicę na sumę granic Podstawmy więc x=3t x=3t t→0 gdy x→0

	sin(x)−x
limx→0		=
	x3

	sin(3t)−3t
limt→0		=
	27t3

sin(3t)=sin(t+2t)=sin(t)cos(2t)+cos(t)sin(2t) sin(3t)=sin(t)(cos²(t)−sin²(t))+2sin(t)cos²(t) sin(3t)=sin(t)(1−2sin²(t))+2sin(t)(1−sin²(t)) sin(3t)=sin(t)−2sin³(t)+2sin(t)−2sin³(t) sin(3t)=3sin(t)−4sin³(t)

	sin(x)−x		−4sin3(t)+3sin(t)−3t
limx→0		=limt→0
	x3		27t3

	sin(x)−x		4		sin3(t)		1		sin(t)−t
limx→0		=−		limt→0		+		limt→0
	x3		27		t3		9		t3

	sin(x)−x
Niech limx→0		=L
	x3

	4		1
L=−		+		L
	27		9

8		4
	L=−
9		27

	36
L=−
	216

	1
L=−
	6