postać zwarta ciągu Antek: znaleźć funkcję tworzącą ciągu (1,3,6,10,15,21) Jak się za takie coś w ogóle zabrać?

jc: (1+x+x²+x³+...)(1+x+x²+x³+...)=1+3x+6x²+10x³+... Teraz łatwiej?

Antek: aaa no tak, czyli to postać zwarta to będzie 1/1−3z

Antek: ?

jc: Taka postać odpowiadałby ciągowi: 1,−3,0,0,0,...

PW: (1+x+x²+x³+...)(1+2x+3x²+4x³+...)=1+3x+6x²+10x⁴+... − nie zabrakło "prima" przy podpowiedzi z 13:05?

jc: Powinna być trzecia potęga: (1+x+x²+x³+...)³ Na ile sposobów możesz uzyskać xⁿ?

	n+k−1 k−1
a+b+c=n, a,b,c ≥0, schemat z przegródkami:		.

	2 2		3 2		4 2
Dlatego (1+x+x2+x3+...)3=		+		x+		x2+...

	1
Lewa strona to po prostu		.
	(1−x)2

jc: k=2, 2 przegródki, aby rozdzielić 3 liczby.

jc:

	1
I oczywiście		.
	(1−x)3

Coś za dużo tych usterek

Antek: kurcze coś ciężko mi to idzie, można gdzieś znaleźć algorytm obliczania tego?

jc: Może sposób analityczny? Dwtkrotnie zróżniczkuj równość

	1
1+x+x2+... =
	1−x

Mariusz: 1,3,6,10,15,21 Nie lepiej zapisać ciąg w postaci równania rekurencyjnego ? s₀=0 s_n=s_n−1+n n≥1 S(x)=∑_n=0^∞s_nxⁿ ∑_n=1^∞s_nxⁿ=∑_n=1^∞s_n−1xⁿ+∑_n=1^∞nxⁿ ∑_n=1^∞s_nxⁿ=x(∑_n=1^∞s_n−1xⁿ⁻¹)+∑_n=1^∞nxⁿ ∑_n=0^∞s_nxⁿ−0=x(∑_n=0^∞s_nxⁿ)+∑_n=0^∞nxⁿ−0 S(x)(1−x)=∑_n=0^∞nxⁿ ∑_n=0^∞nxⁿ możesz obliczyć albo z dwumianu Newtona albo różniczkując szereg geometryczny

d		d		1
	(∑n=0∞xn) =		(		)
dx		dx		1−x

	−1
∑n=0∞nxn−1=		(−1)
	(1−x)2

	1
∑n=0∞nxn−1=
	(1−x)2

	x
∑n=0∞nxn=
	(1−x)2

	x
S(x)(1−x)=
	(1−x)2

	x
S(x)=
	(1−x)3

jc: Mariusz, myślę, że rozwiązanie kombinatoryczne jest najprostsze. Po prostu powołujemy się na argument z przegródkami i piszemy wynik.

1		n+k−1 k−1
	= (∑xn)k =∑		xk, sumy zaczynają się od n=0.
(1−x)k

W zadaniu mamy k=3.

PW: A ja to po prostu widzę tak jak napisałem o 13:38: 1+3x+6x²+10x³+15x⁴+21x⁵+...= (1+x+x²+x³+x⁴+...)(1+x+x²+x³+x⁴+...)'

	1		1		1	1		1
=		(		)' =			=
	1−x		1−x		1−x	(1−x)2		1−x)3

Czy takie "widzenie" jest wadliwe?

jc: W porządku.

Mariusz: Myślę że najwygodniej mu będzie zapisać ciąg w postaci rekurencyjnej Wtedy widać też że to co napisał PW to funkcja tworząca ciągu sum częściowych szeregu ∑(n+1)xⁿ

Adamm: funkcją tworzącą ciągu (1,3,6,10,15,21) jest 1+3x+6x²+10x³+15x⁴+21x⁵

Mariusz: Antek w opisie zadania dałeś postać zwarta ciągu Czy aby na pewno masz znaleźć tylko funkcję tworzącą ciągu Skończonego ciągu tak ale jeśli ma znaleźć także postać zwarta ciągu z wykorzystaniem funkcji tworzącej ciągu to funkcja tworząca skończonego ciągu mu chyba niewiele da Jeżeli chce postać zwartą to może zapisać to równanie w postaci rekurencyjnej s₀=0 s_n=s_n−1+n i zauważyć że to równanie reprezentuje sumę ∑_k=1ⁿk i skorzystać z metod obliczania sum Tutaj rachunek różnicowy może być przydatny

Trębacz: a jeśli mam podany ciąg i funkcję tworzącą i mam sprawdzić, czy funkcja tworząca jest policzona prawidłowo, np. tak: ciąg (1,1,1/2, 1/6, 1/24) i funckja tworząca A(z) = e^z

Adamm: funkcje tworzące ciągów skończonych to wielomiany, więc A nie jest funkcją tworzącą tego ciągu

Mila: Może był ciąg : (1,3,6,10,15,21,......)

Mariusz: Wtedy byłby ciąg nieskończony ale darasy czepialiby się tych wyrazów które nie zostały wymienione Bez tych kropek Adam napisał prawdę