granica Vass: granica ciągu o takim wzorze śmiesznym

	1		1		1
cn=(1+		)*(1+		)*...*(1+		)
	2		4		2n

jc: c_n=1+1/2+1/4+...+1/2²ⁿ⁻¹ = 1 − 1/2²ⁿ⁻¹

Vass: hmm ciekawe przekształcenie, widzę, że działa. A podpowiesz mi jak to zauważyłeś?

Vass: dobra juz widzę dziękuję Ci. Łatwe

Adamm: To zadanie było tutaj już miliony razy

Vass: ale trochę ta prawa strona mi nie pasuje, wygląda na to, że ciąg jest rosnący, a granicę ma mniejszą niż pierwszy wyraz, bo granica tego co z prawej strony wychodzi 1−0 czyli 1

ABC: czegoś nie rozumiem c₄=3/2*5/4*9/8*17/16=2295/1024 >2 a z tej postaci 18:21 można przekroczyć 2?

Vass: no właśnie, sam sprawdziłem tylko dla n=2

ABC: może przyłożyć logarytm naturalny do tego wyjściowego i poprzekształcać

Vass: racja, wtedy granica wyjdzie e¹.

Vass: dzięki

jc: Bo tam powinno być 2 − (1/2)²ⁿ⁻¹

jc: W każdym razie granica = 2.

Vass: granica = e wg mnie, ale moze wychodzi dokladniej, ze 2. Potrzebuje tego do zbadania zbieznosci ciagu wiec musze znalezc jakies ograniczenie gorne (bo rosnacy), e mi wystarczy

ABC: jc ,nie może być granica 2, ciąg rosnący o wyrazach większych niż 2

jc: x=1/2 a₁=1+x a₂=(1+x)(1+x²)=1+x+x²+x³ a₃=(1+x)(1+x²)(1+x⁴)=1+x+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁷

	1
Po prawej stronie masz sumę geometryczną, w granicy		o ile |x|<1.
	1−x

Dla x=1/2 mamy oczywiście 2.

ABC: wiem o co chodzi , ty przyjmujesz że w trzecim nawiasie jest mianownik 16 , a ja że 8 , i chyba ja mam rację

ABC: gdyby tam były w mianownikach 2,4, 16, 256 itd to oczywiście granica wynosi 2

Vass: niestety, bo mamy 2ⁿ a nie 2²n, w każdym razie robiąc to logarytmem naturalnym wyszło e więc ABC raczej ma rację, dziękuję wam wszystkim

jc: Faktycznie, pomyliłem się

jc: (1+x)(1+x²)(1+x³)... to funkcja tworząca dla rozkładów liczb, nawet dla x=1/2 nie spodziewam się żadnego zwartego wzoru.

ABC: tam wychodzi granica około 2.38 , może ma jakiś związek ze stałą γ Eulera ale nie chce mi się myśleć

Adamm: https://math.stackexchange.com/a/1924903/476484

ABC: piękne rzeczy