Geometria kartezjańska Maciek: Uzasadnij, że proste l1 i l2 są równoległe oraz znaleźć ich odległość: l1: x−5y+6z−3=0 ⋀ 2x+y−z+5=0 l2:13x+y+1=0 ⋀ 11x+z−1=0 Z góry bardzo dziękuję za rozwiązanie

Adamm: wyznaczasz dwa punkty A, B∊l₁, A', B'∊l₂ oczywiście tak by A≠B, A'≠B' wtedy AB i A'B' to wektory kierunkowe pierwszej, drugiej prostej Jeśli AB = kA'B' dla pewnego k, to znaczy że są równoległe Jak wyznaczyć A, B ? Ustalasz jedną współrzędną, np. z = 0, rozwiązujesz układ równań.

Jerzy: Zacznij od wyznaczenia wektorów kierunkowych tych prostych ( muszą być równoległe )

jc: x−5y+6z−3=0 ⋀ 2x+y−z+5=0 13x+y+1=0 ⋀ 11x+z−1=0 Do pierwszego równani dodaję drugie pomnożone przez 5. Od trzeciego odejmuję czwarte i zmieniam kolejność. Teraz chyba jest oczywiste, że proste są równoległe. 11x+z−22=0 ⋀ 2x+y−z+5=0 11x+z−1=0 ⋀ 2x+y−z+2=0

Mila: Można tak: l1: x−5y+6z−3=0 ⋀ 2x+y−z+5=0 z=t x−5y=3−6t 2x+y=−5+t /*5 −−−−−−−−−−− x−5y=3−6t 10x+5y=−25+5t −−−−−−−−−−−−−−+ 11x=−22−1t

	1
x=−2−		t
	11

	1		13
y=−2*(−2−		t)−5+t⇔y=−1+		t
	11		11

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− l₁:

	1
x=−2−		t
	11

	13
y=−1+		t
	11

z=t, t∊R A=(−2,−1,0)∊l₁

	1		13
k1→=[−		,		,1] || [−1, 13,11]
	11		11

================= l₂:13x+y+1=0 ⋀ 11x+z−1=0 z=s 13x+y=−1 11x=1−s

	1		1
x=		−		s
	11		11

	1		1		2		13
y=−13*(		−		s)−1⇔y=−		+		s
	11		11		11		11

l₂:

	1		1
x=		−		s
	11		11

	2		13
y=−		+		s
	11		11

z=s, s∊R

	1		2
B=(		,−		,0)∊l2
	11		11

	1		13
k2→=[−		,		,1] || [−1,13,11]⇔
	11		11

k₁ ||k₂ proste są równoległe Szybciej będzie wyznaczyć wektory kierunkowe z iloczynu wektorowego, jak radzi Jerzy. 2) Odległość obliczysz sam ?

Maciek: dziękuję bardzo za liczną pomoc, a co z odległością?

Adamm: np. tak Bierzesz A∊l₁ szukasz B∊l₁, takiego że (AB, k₁) = 0, gdzie k₁ to wektor kierunkowy l₁ Wtedy |AB| to odległość między l₁ a l₂

Adamm: B∊l₂

Maciek: czy mogę np obrać punkt A na prostej l1 i punkt B na prostej l2 tak aby wektor AB był prostopadły do obu prostych? jeżeli tak to czy punkt moze być A(−2, −1, 0) oraz punkt B (0,0,0)

Maciek: Prosiłbym bardzo o sprawdzenie czy byłoby dobrze

Mila: A=(−2,−1,0)∊l1 Punkt należący do l₂. dla s=1 mamy: P=(0,1,0)∊l₂ odległość prostych:

	| AP→ x [−1,13,11]|
d=
	√1+169+121