Definicja liczb rzeczywistych
kasia: Dobry wieczór. Chciałabym prosić o pomoc w zrozumieniu definicji.
Mianowicie, mam opisane liczby rzeczywiste, jako rozłączone klasy abstrakcji ciągów Cauchy'ego.
Rozumiem, że do liczby rzeczywistej możemy zbliżać się liczbami wymiernymi, i wtedy ta liczba
rzeczywista jest naszą granicą.
Następnie mam definicję zanurzenia zbioru ℚ w R, tj.
ℚ∍q → [{qn}] ∊ R
I tego napisu kompletnie nie mogę zrozumieć. Wydaje mi się, że q powinno należeć do R (jako
granica), ciąg {qn} do wymiernych, bo jest to ciąg o wyrazach wymiernych.
Bardzo proszę o pomoc.
2 lut 22:24
ABC:
jakoś dziwnie to napisane, ale chyba chodzi o to, że każdej liczbie wymiernej q
przyporządkowuje się klasę abstrakcji ciągu (q,q,q,q,q,,,,)
który jako ciąg stały oczywiście jest ciągiem Cauchy'ego
2 lut 22:46
jc: Liczbie wymiernej przypisujesz pewien ciąg, który definiuje klasę abstrakcji.
Klasa abstrakcji to przecież nie to samo co ułamek.
Ale potem utożsamiasz liczbę wymierną z klasą.
To trochę tak, jak z liczbami całkowitymi i wymiernymi.
Ułamek to klasa abstrakcji: {2/3, 4/6, 6/9, ... }
5 łączysz utożsamiasz z klasą {5/1, 10/2,...}
Ale jednak 5 to nie nieskończony zbiór par tylko coś innego.
2 lut 22:48
jc: Inny przykład.
Liczby zespolone to pary (a,b). Parę (a,0) nazywasz liczbą rzeczywistą a,
choć to jednak coś innego.
Dalej, prostą rzeczywistą kładziesz na płaszczyźnie zespolonej (to zanurzenie).
2 lut 22:51
ABC:
zanurzenie izomorficzne
2 lut 22:53
kasia: To znaczy, że ta pewna liczba q jest granica, do której dążą ciągi będące w tej klasie
abstrakcji?
2 lut 23:11
kasia: 
3 lut 08:35
3 lut 09:10
kasia: Ale ciąg stały o wyrazach q, dąży do q, także myślę, że moja interpretacja nie jest błędna.
3 lut 09:51
kasia: I też mam relacje równoważności, że dwa ciągi są w relacji, kiedy odpowiednio dalekie wyrazy są
blisko siebie, a więc mają tę samą granicę. Także w klasie abstrakcji, będą ciągi o tej samej
granicy. Zgadza się?
3 lut 09:54
ABC:
Kasia ja wolę mówić tak jak w tym linku tuż przed definicją 2.2
3 lut 10:12
kasia: Rozumiem
Powiedz mi tylko proszę czy się nie mylę mówiąc, że w klasie abstrakcji znajdują
się ciągi o tej samej granicy, względem relacji równoważności wprowadzonej w zbiorze ciągów
Cauchego o wyrazach wymiernych
3 lut 10:23
ABC: Kasia granica ciągu Cauchego o wyrazach wymiernych jeżeli jest liczbą wymierną to ok, a jeżeli
nie, to w ogóle nie istnieje, przecież dopiero tworzysz liczby rzeczywiste
dlatego lepiej nie używać tego słowa
3 lut 10:27