zad krzyssak: całka z ¹_{sinx−cosx+sqrt2}

M:

abcd:

	dx
A = ∫		.
	sin x − cos x + √2

Wiedząc, że sin x −cos x = −√2cos(x+π/4) oraz 1 − cos x = 2sin²(x/2) przekształcamy powyższą całkę do postaci:

	dx		dx
A = ∫		= ∫		=
	sin x − cos x + √2		√2 − √2cos(x+π/4)

1		dx		1		dx
	∫		=		∫		.
√2		1 − cos(x+π/4)		2√2		sin2(x/2+π/8)

Następnie wykonujemy kolejno podstawienia: t = x/2+π/8, dx=2dt

	dt
z = ctg t, dz = −		,
	sin2t

dochodząc do całki

	1		1
−		∫dz = −		z + C.
	√2		√2

Przechodząc do starych zmiennych mamy

	1
A = −		ctg(x/2+π/8) + C.
	√2